一种新的Glauber公式的证明方法

陶俊琦 王 蒙 程剑剑 郑 华

(陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西 西安 710119)

Glauber公式在量子力学中有着十分重要的应用,特别是量子力学中的问题被转化成算符操作后,比如利用平移算符作用在真空态上产生谐振子的相干态。Glauber公式给出了两个算符之和的指数与算符指数之积的关系,它的具体表达式为

应用Glauber公式的条件是算符与算符分别与它们的对易子[]对易。由于量子力学中常见的坐标与动量算符、产生与湮灭算符之间都满足Glauber公式的应用条件。因此Glauber公式是量子力学中十分重要的公式之一。对Glauber公式的证明也是非常重要的内容。笔者通过对量子力学的学习与对大量量子力学教材和习题集的调研发现[1-22],对Glauber公式的证明方法主要有两种。笔者认为这两种方法都有其优缺点,我们在正文中会做详细讨论。笔者在本文中通过构造的方法,利用Baker-Hausdorff公式和算符的指数展开公式,给出了一种新的Glauber公式的证明方法。此方法不仅简洁、简单,同时具有思辨性,可以作为Glauber公式证明的另一种教学选择。

1 Glauber公式常用的证明方法

量子力学教材中,第一种常用证明方法如下[2](注:不同教材和习题集的证明方法可能与下述证明方法略有不同,但本质上属于同一种方法)。先构造一个含有参变量的算符指数的函数

其中λ为参变量。然后对参变量求导

利用Baker-Hausdorff公式

和算符与算符分别与它们的对易子]对易,可得

将式(5)代入式(3),可得

然后将(λ)除到式(6)左侧的分母

对上式积分后得到满足条件(0)=1的解为