问题解决教学中学生计算思维的培养

唐斌?付兴容

摘 要 计算思维是基于计算手段，以数据推理为核心的思维习惯与能力，包含计算的合理性、准确性、简约性、灵活性、创造性等。将计算教学恰当地置于生活问题大情境之中，沿着提出问题-分析问题-解决问题之路，着力探究“用什么”“为什么”“怎么样”“还可以怎么样”等系列问题，帮助学生掌握问题解决策略，提高学生思维能力，发展学生数学思想。

关键词 问题解决 计算思维 思维能力

“数学教育中的计算思维，是指从计算角度思考问题，把问题数量化，化归或递归为可计算的问题，用数据来进行推理。”[1] 因此，计算思维是一种从计算的角度，提出问题、分析问题、解决问题的思维习惯与能力，包含了计算的合理性、准确性、简约性、灵活性、创造性等。计算是寻求合理计算途径解决问题，计算思维能力是在问题解决过程中得以发展。

一、问题情境，抽象算式，合理思维

计算的目的是合理地解决数学问题，算式是回答“用什么”解决问题的问题。计算教学，需要在具体情境中让学生经历从数的运算到式的运算、从具体数到数量关系的抽象过程[2]。创设符合学生认知及心理发展规律的问题情境，可以激发他们学习数学的兴趣。单纯的计算教学常是枯燥无味，如将计算情境融入学生真实生活，学生就容易在生活中感受事物间的数量关系，发现数学问题，将生活情境转化為计算问题情境，凭借已有的数学经验，合理分析问题，把数量关系抽象建模后用算式表达。

例如小数除法“精打细算”中，学生根据情境图收集数学信息：笑笑要去买牛奶，佳佳超市8袋牛奶共18.4元;乐福超市7袋牛奶共14.7元。提出结构性问题：佳佳超市每袋牛奶多少钱？乐福超市每袋牛奶多少钱？笑笑会去哪家超市买牛奶，为什么？……在解决“佳佳超市每袋牛奶多少钱”这一问题时，学生由于思维方式不合理、不会从生活情境抽象出“18.4里面包含了几个8”，导致不能正确应用单价、数量、总价之间的关系列出算式。那么如何算？引出了新的问题。

正确的算式是数量关系的表现形式，是问题解决的前提条件，同时也是培养学生思维合理性的主要方法之一。借助日常生活情境，能使学生在情境中思考，在问题解决过程中进一步感知和增强对数的认识，促进对数的思考，加深对数量关系的理解，同时培养学生计算思维的合理性。教学中借助问题教学调动学生已有的知识经验，让数学与学生已有的生活体验、知识经验联系起来，让他们带着探究的眼光解决问题，感受知识之间的内在联系，有助于理解和建构新知结构，抽象出算式，提高问题解决的能力。日常生活中，买东西是每位学生常常经历的事情，他们需要“货比三家”，用最少的钱买同质量的物品，这是求牛奶单价之必须，建立总价、数量、单价间的数量关系。学生感受到数学在生活中的价值，便会自主地激发问题意识，调动学习的内驱力，有效地增强他们自主探究问题的意识，提升问题解决的能力。

二、问题分析，演绎算理，准确思维

小学生在解决计算问题时，需要借助已有生活经验和知识经验理解算式，尝试计算、探究算理，分析“为什么”要这样算。现代信息加工心理学认为：问题分析属于问题表征，即审题、了解题意的过程。计算教学时，教师应引导学生在学具操作中分析问题、感悟算理，沟通算理与算法的联系。动手操作，学生不仅要观察、分折、比较，还要抽象、概括、归纳、总结，把抽象、复杂的算理形象化、简单化，演绎算理模型，提高问题解决的能力，提升思维的准确性。如“树上有16只小鸟，又飞来了7只，现在树上共有多少只小鸟？”列式“16+7”计算时，学生以小棒代替小鸟，以摆小棒、拨计数器等直观操作模型，在头脑中建立起算理与算法的桥梁，能直观感悟、理解“满十进一”的算理。流畅的思维、有序的操作让学生在脑中进行形象和抽象的对位，有效帮助学生实现从形象思维到抽象思维的过渡。这种方法常用于小学低段计算教学，以便于学生以形象方式理解抽象的算理，将算理与算法结合。

到了小学中段计算教学时，通过画格子图、点子图、面积图等数形结合的方式理解计算的原理。这些方式常用于小数、分数的计算中。例如小数乘法“买文具”中的问题：3枝铅笔需要多少钱？列式：3×0.3。有学生结合小数的意义，采用画图的方法计算（如图1）。

用直观图帮助学生还原最简单、最直观的道理，使算理与算法有机融合，明确算理与算法的对应。学生通过画图明白：0.3是3个0.1，3个0.3就是有3×3个0.1，也就是9个0.1，结果是0.9。在操作活动中，学生思维清晰，调动多种感官参与学习、自主探究，从多层面、多角度发现问题、思考问题、解决问题，以提高解决问题的能力。

计算的准确率除了与计算习惯有关，还与计算思维的缜密性相关。只有准确而深刻地理解了算理，算法才有严密的逻辑关系;将算法与算理有机融合，才能让学生在理解算理的基础上，更深入地理解数学核心概念，计算方法才有可行性，计算结果才可能正确。

三、问题解决，归纳算法，简约思维

算法，是解决“如何算”的问题，是从算理中概括出的计算方法，是一种抽象的过程，包括了计算顺序、计算的法则及计算的定律。一般在问题分析的环节，学生从不同的角度，探索算理，掌握多种计算方法，更重要的是比较深刻地明白了“为什么”的问题，让算理融入算法之中，由多种算理中归纳出一种简洁的算法。

1.从算理中归纳计算顺序

为什么用竖式计算时，加法、减法、乘法是从低位开始，而竖式除法从高位开始？口算的顺序与竖式计算又有什么不同？四则混合运算中，为什么先算括号内，再算括号外？为什么先算乘除，后算加减呢？……这一系列问题，都需要从算理入手，结合具体的生活情境，在问题解决的过程中，明确计算的顺序。

2.从算理中抽象算法

（1）从多种方法中优化算法。计算方法看起来简洁、用起来简化、说起来简单，因此教师需要引导学生在解决问题后及时归纳、总结算法，这样才能有效地提升问题解决的能力，促进思维的发展。例如：小数除法中，学生计算14.7÷7，呈现了以下三种方法：

学生观察、对比这三种算法后发现：除计算结果相同外，它们都将小数除法转化为整数计算，再借助小数的意义，将结果转化成小数。归纳的算法如下：小数除法中除数是整数时，先按整数除法的法则计算，最后商的小数点要对齐被除数的小数点。三种方法对比、归纳、推理出小数除法的计算法则，不仅能提高他们解决问题的效率，还能促进思维的发展。

（2）从过程中概括计算的法则。计算分数乘整数时，将乘法转化为加法，理解算理;在转化的过程中，抽象出算法。如从过程：×3=++=

==中，得到×3=。在此过程中，学生从中可以发现，分数乘法其实就是同分母分数相加的简便计算，从而得出分数乘整数的计算法：分母不变，分子乘整数作积的分子。

在问题情境中理解运算定律、运算性质，建立常见计算模型。加法（乘法）交换律与结合律、乘法分配律、商不变性质、积不变性质等，均需要在解决生活情境问题中建立运算模型。如“三套衣服，上衣300元，裤子200元，一共多少元？”在解决此问题中抽象出乘法分配律：（上衣300元+裤子200元）×3套=上衣300元×3+裤子200元×3。

四、问题延伸，拓展算模，灵活思维

解决了“用什么”“为什么”“怎样做”等三个问题，并不意味着问题解决已经结束，计算教学任务完成，还需要进一步拓展问题，思考“还可以怎样做”“用这些方法还能解决哪些类似问题”“计算的方法还能解决哪些非计算类的问题”等，深入分析算理，拓展算法。知识的获得是学生思维碰撞的结果，是学生智慧的结晶，因此要让学生不再陷入个人教条或自己信念的泥沼中，不要落入非此即彼的陷阱;而应将同类问题延伸，不同类问题建立联系，创设能让学生产生认知冲突的问题，以激发思维的灵活性。

1.一题多解，同中求异，多模固本

学生在解决问题的认知冲突中，可以引发他们思维的矛盾——同中求异。结果相同，而过程不同，通过思考形成数学思想，发展数学本质性思维。在疑问中学生会追根溯源的想法，能打破那些阻碍自己的习惯思考，突破思维上不合理的定势，使思想不再保守，在思维碰撞中不断获得新的灵感。

例如用多种简便方法计算9.6×2.5。学生呈现了以下两种计算方法：

由于学生的认知及思维水平不同，思考简算的方法也不一样。学生通过观察、对比发现，方法二可以使计算更准确、更简便。通过问题的延伸让学生的思维产生了认知冲突：这两种方法的异同是什么？为什么第二种方法更简便？……在追问中，进一步思考简便计算的根本在运用规律“简”化算法。

2.此问题到彼问题，异中求同，“模”而无“模”

计算，不是机械的、简单的、程式化的练习，而需要深入思考，由此及彼，不受某种方法、模型、框架的限制，能将不同类的事物建立起联系，发展结构性思维，形成数学思想。一是同一算式解决多个问题。根据算式编写不同的应用题，或以一个算式解决多种问题。如用13-7这个算式，可以解决“多多少”“少多少”“余下多少”“还差多少”等问题。二是同一算法解决多个问题。学了整数加减法数位对齐的法则后，同样用于乘法、除法等，建立联系或转化的数学思想。三是算法灵活而合理跨界。除法竖式，同样也可以先从低位除，从“少”的开始分，不够分时从“多”的借来分;交叉相乘法，同样可用于异分母加法等。如此就可以培养数感，发展类比的思想，从有序计算，发展到有序思考，由计算方法发展到数学思想。

拓展计算模型有助于提高学生的计算能力、问题解决能力，促进逻辑思维能力的发展。正确的计算方法，是得到正确答案的路径，计算中蕴含的数学思想才是灵魂，没有思想的方法仅是呆板的工具，蕴含思想的方法才具有强大生命力。

教学中创设符合学生认知及身心发展的活动，让学生爱学、会学，在掌握计算方法、明晰算理的同时，还锻炼了学生思维、启迪了学生智慧。计算教学属于解决数学问题的教学，将计算教學恰当地置于生活问题的大情境之中，沿着提出问题、分析问题、解决问题之路，着力探究“用什么 ”“为什么”“怎样”“还可以怎样”等系列问题，帮助学生掌握问题解决策略，提高学生思维能力，发展学生数学思想。

参考文献

[1] 吴洁莹，徐章韬.面向未来的核心素养：从运算能力到计算思维[J].湖南教育（A），2017（05）.

[2] 吴正宪，张秋爽，李惠玲.和吴老师一起读数学新课标[M].北京：教育科学出版社，2013.

[责任编辑：陈国庆]