一类特殊拉格朗日曲率方程的径向对称解*

梁永梅

(广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541006)

1 引言

在二阶椭圆偏微分方程的研究中，边值问题解的存在性问题是最重要问题之一.目前来说，边值问题主要为Dirichlet问题、Neumann问题和斜导数问题，也称第一、第二和第三边值问题.本文研究Dirichlet边值问题解的存在性.众所周知，Dirichlet问题是椭圆方程问题中的一种.而对于完全非线性的椭圆方程，情况是多样且复杂的，特别是微分几何中的拉格朗日方程和拉格朗日曲率势方程.本文把注意力限制在特殊的拉格朗日方程和一些相关的问题上.R. Harvey和H. B. Lawson[1]早在1982年就建立了标量几何理论.根据[1]可设x=(x1，x2，…，xn)，u=u(x)，引入以下方程：

Im(I+iD2u)的像就是拉格朗日方程

arctanD2u=Θ，

其中arctanD2u∶=arctanλ1+arctanλ2+…+arctanλn，λ(D2u)=(λ1，…，λn)是Hessian矩阵D2u的特征值，而Θ称为相.对于这个方程R. Harvey和H. B. Lawson得到了它的解u具有这样的性质:n×n=n中的图p=∇u是绝对体积极小的拉格朗日子流形，并且在任何解处的线性化得到的都是椭圆方程.在早期的工作中，Yuan[2]证明了特殊拉格朗日方程

每一个经典的凸解都必须是一个二次多项式.

近年来有许多文章研究拉格朗日方程[3]，[4]，[5].Collins, Sebastien 和Xuan[4]在2017年研究了一类特殊拉格朗日方程

(1.1)

解的存在性问题，其中Ω是n中边界光滑的有界区域，φ(x)和h(x)是给定的光滑函数.受到文献[4]的启发，本文将其推广到一类具有Dirichlet边值条件的特殊拉格朗日曲率方程

(1.2)

2 预备知识

本节介绍主要的定义、性质以及定理.

在任意区域Ω⊆n上定义一个函数u(x):Ω→，函数u(x)对应的图Γ是n+1的一个超曲面.在嵌入x(x，u(x))所诱导的坐标系中, 欧氏空间n+1在图Γ的诱导度量定义为

gij=δij+DiuDju，

这称……