基于小波基函数的奇异积分求积算法*

杨焕枫,隆广庆

(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 530100)

1 引言

工程和科学中的许多问题中都存在奇异积分,特别是在初值和边值问题中.例如在电磁波和声波散射问题中经常出现对数奇异核([1,2]);另一个著名的例子是二维亥姆霍兹方程,它可以通过格林公式直接转化为一个具有对数奇异核的积分方程([3]).奇异积分还出现在弱奇异积分算子的特征值问题中,比如文献[4]提出了一种基于矩阵压缩策略的弱奇异积分算子特征值问题的快速多尺度小波配置方法,最终得到了一个含奇异项的广义矩阵特征值问题;文献[5,6]则应用边界元的方法将微分方程转化为边界积分方程,得到了一个带有特殊结构的奇异核.因此,对此类积分的研究对工程和科学有着重要的意义.

在本文中,我们对多尺度逼近的背景下一类具有特殊结构的奇异核函数进行分析,建立适合使用多尺度小波基函数的快速求积方法.该方法能在一定程度上减少奇异积分的计算成本.我们定义这一类二重对数奇异积分为

其中[a,b]×[c,d]⊂[0,1]×[0,1],并且wij是小波基函数.

众所周知,在很多情况下奇异积分是无法准确计算的,因此产生了很多特殊方法用于处理奇异积分问题.例如,文献[7]提出了弱奇异积分的高斯型求积法则,并将该求积方法应用到第二类弱奇异Fredholm积分方程中,得到离散的乘积积分方法.文献[8]则主要是建立了一类在积分区域内或附近具有奇点的函数的数值积……