一题多解在不定积分求解中的应用

张玉芳

【摘要】一题多解不仅能揭示不同解题方法之间的内在联系与区别，还可以启发和引导学生发散思维，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.本文给出了一道三角函数有理式不定积分的几种解法：万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法，从而展示一题多解在不定积分求解中的应用.

【关键词】一题多解;不定积分;三角函数有理式

不定积分是数学分析课程的核心内容之一.求解不定积分的方法有很多，如基本积分公式表、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法（变量代换法）、分部积分法、有理函数的不定积分法（将有理函数进行部分分式分解，然后求各个部分分式的不定积分）等.但有一类函数的不定积分（三角函数有理式的不定积分）求解方法比较灵活多变，初学者难以掌握.本文以几种方法（万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法）求解同一道三角函数有理式的不定积分为例，展示一题多解在不定积分求解中的应用.其目的：一是启发、引导学生发散思考，二是培养学生自主探究问题的能力，从而使学生能够感悟数学的魅力，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.

例求不定积分∫dx（2+cos x）sin x.

分析不同类型的不定积分一般都有基本的积分方法.对……