例说分类讨论思想在解题中的一些应用（二）

陈显华

【摘要】分类讨论又称分情况讨论.当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类.将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合，这种研究问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论法是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法，是极为重要的思想方法.

【关键词】分类讨论思想;解题;应用

一、用分类讨论思想求三角形的边长

例1等腰三角形一条腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求等腰三角形的腰长和底边长.

解设等腰三角形的腰长为2x cm，底边长为y cm，则根据题意，可得

2x+x=15，x+y=6或2x+x=6，x+y=15.

分别解这两个二元一次方程组，得

x=5，y=1或x=2，y=13.

∵x=2时，2x=4，

又∵4+4<13，

∴x=2，y=13应该被舍去.

综上所述，等腰三角形一条腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为1 cm.

例2已知直角三角形两边的长x，y满足x2-4+y2-5y+6=0，则第三边的长为.

解根据非负数的性质，可得x2-4=0，且y2-5y+6=0，

∴x=±2，y=3或2.

∵x，y表示直角三角形的边长，

∴x=-2应该被舍去.

∴x=2，y=3或x=2，y=2.

当x=2，y=2时，根据勾股定理可得第三边的长为22+22=22;

当x=2，y=3时，根据勾股定理可得第三边的长为22+32=13.

当直角三角形的两边长为2和3时，并不能确定它们都是直角边，斜边有可能为3，故第三边长也可能为32-22=5.

综上所述，已知直角三角形两边的长x，y满足x2-4+y2-5y+6=0，则第三边的长为22，13或5.

二、用分类讨论思想判……