连续排水边界下双层地基一维非线性固结解析解

杨晓燕，宗梦繁，吴文兵，2，3，梅国雄，2，3，蒋国盛†

（1.中国地质大学工程学院，湖北武汉 430074；2.广西大学土木建筑工程学院，广西南宁 530004；3.广西大学工程防灾与结构安全教育部重点实验室，广西南宁 530004）

由于地基的成层性和非线性，双层地基的一维非线性固结研究具有重要的理论和工程意义.Davis和Raymond[1]基于e-lgσ′关系，假定固结过程中渗透系数kv与压缩系数mv同步变化且自重应力沿深度保持不变，得到kv和mv随深度及时间变化的土体一维非线性固结理论.由于一维非线性固结求解的复杂性，现有的土体一维非线性固结解析解相对较少，其中成层地基一维非线性固结解析解仍然很少，Xie等[2-4]基于Davis和Raymond的假定，推导出双层地基瞬时加载及单级加载、单层地基单级加载及循环加载条件下一维非线性固结问题的解析解.施建勇等[5]基于双曲线压缩模型建立了土体一维非线性固结方程并获得了解析解.Lekha等[6]基于e-lgσ′和elg kv关系，在作出进一步简化假定后推导出瞬时荷载下土体一维非线性固结解析解.而对于其他更复杂的情况，往往只有半解析解[7-10]和数值解[11-15].但以上非线性固结理论的研究仅限于对土体非线性压缩和渗透特性的不断深入，而对土体排水边界随时间发展过程的研究还不够深入.

目前，土体固结问题的研究主要集中在固结方程和初始条件的优化上，有关边界条件的研究相对较少.Terzaghi边界已广泛用于求解固结问题，其形式简单但边界只能表示为完全透水和完全不透水两种.虽然有一些关于半透水边界的报道，如Gray[16]最早对半透水边界进行了研究，随后Schiffman和Stein[17]、方开泽[18]也对半透水边界进行了研究，但半透水边界求解相对困难.基于此，梅国雄等[19]提出与时间相关的连续排水边界并得到瞬时荷载下的单层一维固结方程的解答；随后，蔡烽等[20]、Liu和Lei[21]、Wang等[22-23]、吴文兵等[24-27]对基于连续排水边界的土体固结问题进行了跟踪研究.但以上基于连续排水边界的固结研究中均未综合考虑地基的成层性和土体非线性特性，而地基成层性和土体非线性对固结性状的影响不容忽视.

本文基于Davis和Raymond的假定推导出连续排水边界条件下瞬时加载的双层地基一维非线性固结解析解，基于所得解详细讨论了连续排水边界界面参数及非线性参数对土体一维非线性固结特性的影响.然后与Xie等[3]所得解进行对比，验证解答的合理性.

1 连续排水边界

土体固结特性非常复杂，不仅与土体参数有关，排水边界形式对土体固结特性也有很大影响.运用最广的边界形式是传统Terzaghi排水边界，包括完全排水和完全不排水两种形式，表达式分别为式（1）和式（2）.

式中：u为超静孔隙水压力；z为土层深度竖直向下的坐标.

由于Terzaghi排水边界只能反映出边界完全排水和完全不排水两种较为绝对的排水状态，在实际工程中边界排水能力可能介于这两者之间，因此Gray[16]提出半透水边界，其表达式如下：

半透水边界能够反映边界处孔压随时间消散情况，但由于形式较为复杂，致使固结方程求解困难，难以求得解析解答.梅国雄等[19]认为Terzaghi排水边界与初始条件存在数学不适定问题，且实际排水边界介于完全排水和不排水之间，因此提出与时间相关的连续排水边界，其表达式如下：

式中：q0为施加的瞬时外荷载；t为时间；b为连续排水边界的界面参数.

对连续排水边界无量纲化处理，令：

式中：cv为固结系数；α 为无量纲的界面参数，其值可以通过试验模拟或工程实测反演得出.

此时，连续排水边界可改写为：

2 双层地基一维非线性固结模型

双层地基一维非线性固结分析模型如图1所示.图中hi为土层i（i=1，2）的厚度，地基总厚H=h1+h2；q0表示作用于土体的瞬时荷载.由Davis和Raymond[1]的假定可得出土体一维非线性固结方程如下：

图1 双层地基模型Fig.1 Schematic diagram of double-layered soil

定解条件为：

由有效应力原理知：

3 连续排水边界条件下双层地基一维非线性固结解答

固结方程式（7）为非线性偏微分方程，为将方程变为线性偏微分方程，令：

将式（12）代入固结方程式（7），则固结方程可化简为：

为了进一步将边界条件齐次化，令：

将式（14）代入化简后的固结方程式（13），则固结方程进一步表达为：

其中：

相应的定解条件变为：

设方程式（15）解的形式如下：

其中：

式中：βm、μ、λm、Am、Bm和Cm为待定系数；Tm（t）为关于t的待定函数.当待定系数和待定函数确定后，方程式（15）的解答就可以确定.将式（22）和式（23）代入式（21）后，显然满足边界条件式（19）.

将层间连续条件式（20）代入待定函数式（21），得：

其中：

式（25）为确定待定系数λm的特征方程.将式（21）代入边界齐次化后的固结方程式（15），可得：

由正交关系可得：

结合式（29）和式（32），可以确定系数Cm为：

将初始条件式（18）代入待定方程式（21）可得：

考虑方程式（34）的恒等性，可以确定系数Bm为：

方程式（21）的待定系数及待定函数都已确定，因此求出一般解为：

将式（36）和式（37）代入式（14），可得ω1和ω2：

式中：待定系数c、βm、μ、Am、Cm分别由式（26）（27）（28）（24）（33）确定；待定系数Tm由式（25）确定；λm由式（25）确定.由式（14）可以得到第一层土和第二层土超静孔隙水压力的表达式如下：

双层地基按沉降定义的地基总平均固结度Us和按有效应力定义的地基总平均固结度Up分别为：

式中：εi和εfi分别为土层i的竖向应变和最终竖向应变，且有：

4 解答的验证与分析

基于Davis和Raymond的假定，Xie等[3]得到了Terzaghi双面排水及单面排水双层地基一维非线性固结解答.本节通过与Xie的理论解进行全面对比，对本文解的合理性进行分析.

图2反映了土层压缩系数比值对按沉降定义的平均固结度Us的影响.图中Tv为时间因数，表达式前文已给出.由图2可以看出界面参数r取值等于1 000时，基于连续排水边界固结解答与Xie双面排水解答一致，表明界面参数取值较大时，连续排水边界将退化为Terzaghi完全排水边界，初步验证了解答的正确性.此外，从图中还可以看出随着下层土与上层土压缩系数比值的减小，双层地基固结速率变快，表明上软下硬型地基固结更快.

图2 压缩系数对Us曲线的影响Fig.2 Influence of compressibility coefficient on Uscurves

图3反映了连续排水边界条件下最终有效应力与初始有效应力比值Nσ对Us和Up的影响.由于kvi、mvi值随Nσ值的增大而同步减小[7-8]，固结过程中kvi减小则土体内孔隙水越难排出即孔压越难消散，而mv值减小则土体越难被压缩即孔压越容易消散，因此kvi减小则固结速率减小，而mvi值减小则固结速率增大.从图3中可以看出固结度曲线随Nσ取值不同而发生改变，说明kvi、mvi对固结度的影响并未抵消.图中Us随Nσ值的增大而增大，而Up随Nσ值的增大而减小，这说明连续排水边界条件下，按沉降定义的平均固结度计算时，压缩系数对固结速率起主要作用；而按孔压定义的平均固结度计算时，渗透系数对固结速率起主要作用.此外，从图3可以看出对于同一时间因数Tv，Us值均大于Up值，且两者的差别随着Nσ值的增大而增大，说明双层地基一维非线性固结的沉降速率大于孔压消散速率.

图3 Nσ值对固结度的影响Fig.3 Influence of Nσon consolidation degree of soil

图4和图5分别反映了不同边界条件下Nσ值对Us和Up的影响.由图4可以看出对于Xie单面及双面排水解答，Us不随Nσ值的变化而变化，这说明kvi和mvi对Us的影响相互抵消；而基于连续排水边界所得解答Us随Nσ值的增大而增大.边界的排水会影响土体变形的发展过程，排水边界不同则土体变形过程也会产生差异，因此图4中Xie所得解答Nσ值对Us没有影响，而连续排水边界下Nσ值对Us有影响，这可能是排水边界不同引起的.由图5可以看出连续排水边界解答和Xie单面及双面排水解答，Up均随Nσ值的增大而减小，这说明按孔压定义的平均固结度计算时，渗透系数对固结速率起主要作用.此外，从图5还可以看出连续排水边界条件下Nσ对Up的影响远小于Xie所得解答下Nσ对Up的影响.

图4 不同边界条件下Nσ值对Us曲线的影响Fig.4 Influence of Nσon Uscurves for different boundary conditions

图5 不同边界条件下Nσ值对Up曲线的影响Fig.5 Influence of Nσon Upcurves for different boundary conditions

图6反映了界面参数r值对按沉降定义的固结度的影响.从图中可以看出土体固结速率随r值的增大而增大.在固结初期，连续排水边界条件下土体固结速率小于Xie解答下的土体固结速率，但在固结中后期，连续排水条件下固结速率在Xie单面和双面排水条件之间变化，值越大越接近于双面排水，越小越接近于单面排水.当r取值较大时，连续排水边界条件得到的固结曲线与Xie双面排水得到的固结曲线相近；而当r取值较小时，连续排水边界条件得到的固结曲线与Xie单面排水得到的固结曲线几乎一致，这表明Xie解答的固结初期较快，而基于连续排水边界所得解答后期固结更快.对于实际工程而言，当排水边界参考连续排水边界模型进行设计时，可以通过调整r取值来设计实际工程中需要的固结排水速率.

图6 r值对Us曲线的影响Fig.6 Influence of r on Uscurves

在控制其他条件不变的情况下，图7分析了土体渗透系数对孔压曲线的影响.从图中可以看出，如果上土层孔压消散慢则下土层孔压消散速度快，反之上土层孔压消散快则下土层孔压消散慢，即渗透系数对孔压的影响在上土层和下土层表现相反.kv02/kv01比值越大表明上土层渗透系数相对于下土层渗透系数变小，对于上层土，孔压随比值kv02/kv01的增大而增大，即kv02/kv01比值越大上层土的孔压越难消散，说明上土层渗透系数相对于下土层渗透系数小时，上土层的孔压越难消散；反之，kv02/kv01比值越大下层土的孔压越容易消散，说明下土层渗透系数比上土层渗透系数大时，下土层孔压越容易消散.这表明上下土层中渗透系数相对较大的土层其孔压消散更快.

图7 土体渗透系数对孔压曲线的影响Fig.7 Influence of the permeability of the soil on excess pore water pressure distribution curve

图8分析了土体体积压缩系数对孔压曲线的影响.从图8中可以看出，瞬时荷载作用下，在上下土层渗透性大小相等的情况下，孔压随mv02/mv01值的减小而减小，mv02/mv01值变小表明下土层体积压缩系数与上土层体积压缩系数比值变小，即上层土压缩模量与下层土压缩模量的比值变小.孔压随mv02/mv01的减小而减小，表明上软下硬型的地基超静孔隙水压力消散更快，该类土层固结更快.

图8 土体体积压缩系数对孔压曲线的影响Fig.8 Influence of the compressibility of the soil on excess pore water pressure distribution curve

5 结论

本文基于Davis和Raymond土体一维非线性固结的假设，通过引入连续排水边界条件推导出瞬时加载下双层地基的一维非线性固结问题的解析解.利用所得解析解，对双层地基非线性固结进行分析，得到以下结论：

1）连续排水边界条件下Us随Nσ值的增大而增大，而Up随Nσ值的增大而减小，说明利用Us计算地基固结度时，体积压缩系数对固结速率起决定性作用，而利用Up计算地基固结度时，渗透系数对固结速率起决定性作用.

2）连续排水边界条件下Nσ对Up的影响远小于Xie所得解答下Nσ对Up的影响.

3）在固结初期，连续排水边界条件下土体固结速率小于Xie解答下的土体固结速率.但在固结中后期，连续排水条件下固结速率在Xie单面和双面排水条件之间变化，r值越大越接近于双面排水，r越小越接近于单面排水.

4）连续排水边界条件下双层地基一维非线性固结，Us大于Up，且两者的差别随着Nσ值的增大而增大.