初高中数学函数的教学衔接研究

刘常镇

函数，与我们的生活息息相关，也是初高中数学中的重要内容，甚至其蕴涵的思想方法贯穿整个高中数学的始终，是高中数学的一条主线。但是，由于初高中数学教材存在许多“脱节”的知识，而且初高中学生存在一定程度的认知差异，造成许多高一学生在学习函数时，导致不理想的学习效果。因此，本文拟从初高中函数教学的区别与联系进行探讨，从而更好地实现初高中函数教学的有效衔接.

一、初高中函数的教学现状

1.课程目标的区别

初中函数的内容主要在人教版《义务教育数学课程标准（2011版）》中的八年级下册第十九章《一次函数》、九年级上册第二十二章《二次函数》以及九年级下册第二十六章《反比例函数》。高中函数的内容主要在人教版《普通高中课程标准实验教科书A版》必修一中的第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》以及必修四中的第一章《三角函数》。高中函数是对初中函数更深层次的学习，初高中函数在概念、性质、图像、应用及思维等方面都有很大差异。

初中函数的教学目标是“通过分析实际问题中的变量关系，得到相应的一次函数。”“函数是描述变化的一种数学工具，学习二次函数和反比例函数的图像和性质，利用它们来表示某些问题中的数量关系，解决一些实际问题，进一步提高对函数的认识和应用能力。”高中函数的教学目标是“函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用集合与对应的语言，在初中学习的基础上，进一步刻画函数的概念;通过观察、分析、概括，从不同的角度学习函数的基本性质;在解决问题的过程中感受函数的思想方法和广泛应用。”“通过具体实例学习三种基本而又重要的函数：指数函数、对数函数和幂函数，了解这三种函数的特征与性质，并利用它们解决身边以及其他学科中的相关问题。”初高中函数的教学目标重点都是突出概念，由概念的引入，进而探究其性质、特征以及蕴含的思想方法。显然，高中函数教学目标是建立在对初中函数具有基本认知的基础之上，对高中生的要求更高。

2.课程内容的区别

初中函数只涉及到三种最简单的函数：一次函数、二次函数和反比例函数。知识点比较单一，而且中考考查函数的难度逐年减弱，因而教学强度也相应减弱，只要求学生能够运用上述函数解决一些简单的实际问题。高中函数涉及到的内容比较广泛，主要有：集合观点下的函数“对应说”定义、分段函数、函数的多种性质、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，以及和上述函数有密切联系的其它知识，比如数列、函数与方程。下面从定义、符号、性质和数学思想四个方面进行阐述初高中函数内容的区别。

初中教材给出函数的描述性定义，即“变化过程中的两个变量之间的依赖关系”，即“变量说”。该定义强调的是一个变量随着另一个变量的变化而变化，当一个变量确定时，另一个变量也随之确定。例如，白菜价格2元/斤，那么顾客购买1斤需付2元，购买2斤需付4元，这是明显的单值对应关系，相对形象，易理解。在普通高中课程标准实验教科书中，有关函数的内容是先从更精准的抽象性定义开始的，即“对应说”，它是建立在集合论的基础上，强调的是两个非空数集之间的对应关系，比初中函数定义更进了一步，重点突出抽象思维，也为以后学习映射的概念作准备。定义的深化，体现的也是数学发展运动的思想。

数学有别于其它学科，它需要一套独特的语言系统，因此会产生相应的数学符号，比如关于函数的符号，初中阶段只用x表示自变量，y表示因变量，从而建立自变量x与因变量之间的对应关系。而高中阶段用y=f（x）表示函数，大部分高一学生对这个高度抽象的函数符号的内涵理解不够深刻到位，导致往后的学习出现障碍。笔者在所教的两个班级中采取口头调查，结果如下：能够准确说出字母f是“对应法则”的含义，约占40%;能够说出f（x）与f（2）之间的区别，约占60%;能够说出f（x）的表示方式可用解析式、图象、表格等，约占55%;能够准确说出初中函数定义和高中函数定义，约占50%。由此表明，高一学生对函数符号f（x）的理解普遍不到位。因此，函数符号f（x）的教学，教师必须首先站在学生已有的认知基础上，再利用直观的例子，让学生观察、感受、比较，进而理解它的内在含义。

高中函数的性质，是教学的重难点内容，也是高考考查的重点内容。比如，函数的单调性、奇偶性、极值、最值、零点等，在实际中有着比较广泛的应用。事实上，初中函数所讲授的性质，较为单一，主要着重于函数的单调性，并且采用“非符号化的描述”语言，很直观：在某个定义域D内，从左往右，图象“上升”或“下降”，即y随着x的增大而增大或减小。高中函数的单调性，从“非符号化的描述”转变为“符号化的描述”，即对任意的x1f（x2），则f（x）在定义域D内单调递增或递减。在这里，很明显将初中的“看图说话”转变成“符号表述”，是形象思维到抽象思维的过渡。在高中函数单调性的教学过程中，可以采用“数形结合”的方法，使学生从中发现不同之处，掌握变化规律，从而提升抽象思维能力。再比如，函数的奇偶性，初中函数尚未涉及，但已学习过轴对称和中心对称的知识，因此，也可以采用“数形结合”的方法，初步让学生体验“奇偶函数”的概念，进而揭示“符号化”的定义：对任意x∈D，D关于原点对称，若f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数;对任意x∈D，D关于原点对称，若f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数.符号化表述，十分抽象，因此采用“数形结合”过渡的方式，显得尤为重要。在学习高中函数的其它性质时，也需要注重初高中函数内在区别与联系，找出它们的异同点，从而顺利实现初高中教学衔接。

著名数学家菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中指出，观点越高，事物越简单。数学思想往往蕴含在数学知识和方法中，但又高于数学知识和方法，是更高层次的抽象和概括。在高中数学教学中，不仅要注重数学知识和方法的传授，而且也要注重数学思想的贯穿与渗透，让学生感悟数学思想的魅力。初中函数比较注重“数形结合”的思想，比如在学习二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）時，当a>0时，函数开口向上;a<0时，函数开口向下，学生已经掌握了这个知识点，但是，函数开口的大小与二次项系数a存在怎样的关系？可以进一步利用两个图象进行比较分析.在讲授指数函数、对数函数和幂函数时，也可以利用数形结合的思想，让学生在“数”与“形”之间切换。那么，高中数学还有三大思想，分别是函数与方程思想、分类讨论思想和转化及化归思想。在教学过程中，应当特别注意初高中的衔接与切换，注意数学思想在概念的建构、在知识的结构、在阶段目标的达成中，充分让学生亲身体验数学思想的运用.