构造法在高中数学解题中的应用

石豪方

【摘要】随着我国基础教育改革的不断深入，为了积极响应学生作为教学主体，以提升学生综合学习能力为教学目标的要求和号召，模式多元、内容丰富的教学措施已经普遍运用到具体的教学中.其中，将构造教学法合理地结合到高中数学中，能够将学生传统的解题思路有效转变，提升学生的数学解题能力.因此，本文针对构造法的内涵以及构造法在高中数学解题中的有效应用展开了全面、详细的分析.

【关键词】构造法;高中数学;解题;应用

构造教学法主要指在高中数学教学过程中，教师引导学生根据具体数学题目中给出的已知条件以及与题目结论有关的内容，构造出一种与题目的条件或者结论一致的数学结构模式，将题目中的未知条件转变成已知条件，在此基础上，通过更加简单的方式，正确解出题目.构造法在高中数学解题中的有效应用，不仅能够帮助学生更快、更准地解答数学问题，还能将抽象的数学问题具体化、形象化，使学生的创新思维得到进一步的拓展和提升.

一、构造法概述

（一）构造法

构造法就是将已经掌握的知识以及方法进行综合性的使用，通过题目所给出的条件或结论所具有的特质，构造出新的满足于条件或结论的数学形式.一般的解决问题模式是对于题目所提供的条件或所求结论进行全面的分析，并且通过创造性的思维构造出函数、图形、方程、数列等相关模型，最终达成有效转化并得出结果.

（二）特征

构造法在数学教学中是常用的，其在使用过程中有着明显的特征：构造性，通过构造辅助性问题，将原本的问题进行转化;直观性，利用构造法进行数学问题的解决，其步骤较为直观清晰;可行性，使用构造法不仅可以有效判定数学对象，还可以在一定的步骤内明确;灵活性，在开展对某具体问题的研究时，怎样开展构造与学生的数学基础和解题相关经验有着紧密联系;多样性，构造法与别的数学方法不同，在解题过程中通常会运用到分析、综合、观察等多种手段.

（三）优势

构造法在数学教学中的应用优势在于可以将已知条件、未知条件和结论合理地关联到一起，将原本的数学问题简单化，也搭建知识的桥梁.同时，如果学生能够有效地掌握构造法，并在实际的解决问题过程中进行应用，那么不仅会使学生解决问题的能力得到提升，也能够促进学生多方面素养的发展.

二、构造法在高中数学解题中的应用

（一）构造法在方程中的应用

笔者对构造法在高中数学解题中的有效应用展开的大量实际调查研究发现，在学生学习高中数学相关知识的过程中，要明确了解函数知识与方程之间的紧密联系.在高中数学教学中运用构造法解决问题时，方程法也是被普遍使用的解题措施之一，由于使用的频率比较密集，因此，已经成为目前高中生比较熟悉的解题方法之一.方程与函数之间存在着千丝万缕的联系，大部分情况下，老师可以引导学生对题目中的已知条件进行分析，详细了解具体的结构关系和数量特征，根据题目的内容将假设法合理地结合其中，创建与题目内容一致的等量性方程式.在此基础上，对方程式中各个量的特点、彼此之间的关系、方程式两边的等量关系进行分析.同时，根据恒等式变形的原则，将抽象的函数内容转变成形象的几何内容和几何图形.这样的教学方式，不仅能够使学生对数学问题有更加充分的理解，还能使学生解答数学问题的速度和准确性进一步提升，从而为学生观察能力、创新能力、逻辑思维能力的提升提供积极的帮助.举一个简单的例子：

已知log123和log1215，求二者的大小关系.

解析：根据题目知道，log123和log1215這两个对数值都属于静态的函数值，因此，对这两个对数值进行对数函数构造，就能得到一个对数函数的动态函数值.构造函数y=log12x，从而log123和log1215即是对数函数y=log12x中自变量x=3和x=15时的两个函数值，这样就实现了静态函数值转变成动态函数值的目标，从而得到log123

（二）构造法在图形中的应用

在学生学习高中数学的过程中，运用图形是解决高中数学问题普遍使用的方式之一.通过图形解决数学问题，不仅能够将具有较高复杂性的数学问题得到简化，转变成具体、形象的问题，使学生能够更加直观地理解数学问题，还能进一步提升学生的数形结合能力，提升学生思维的灵活性.学生在明确题目的已知条件后，可结合已知条件构造一个图形，将抽象的代数问题转变成形象的几何问题，在此基础上，结合代数与几何的相关性质定理，将代数问题有效解答出来.因此，加大培养学生灵活使用图形构造法的力度，能够在很大程度上提升学生解决数学问题的能力.比如：

已知1+x2+4+（4-x）2（0≤x≤4），求该代数式的最小值.

图1解析：如果在解决这道代数问题时单纯地使用代数方式，那么难度极高，会使高中生产生较大的困扰.仔细观察代数式的结构特征可构造一个直角三角形，将题目的内容转变成：一条直线上的某一个点到其他两个点之间的最小距离，如图所示.

已知AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=2，P为AB上一点.求P点到C点和D点之间的最小距离.

解析：设AP=x，则PC=1+x2，PD=4+（4-x）2.这样，就将原问题转变成求P点在什么位置时，PC+PD的数值最小.画一条以AB为中轴线的C点的对称点C′，

将C′点与D点连接，与AB相交于点P，此时，根据△PAC′∽△PBD能得到等式x4-x=12，经过计算，得到x=43.因此，通过简单的转换就能得到P点到C点和D点之间的最小距离为5，也就是1+x2+4+（4-x）2（0≤x≤4）的最小值为5[2].

（三）构造法在函数中的应用

在高中数学知识体系的构建中，函数是极为重要的知识.函数构造的学习对学生有效形成解题思路，加强解题能力有着关键性的作用.在开展对高中生整体解题的教学中，教师的主要教学内容就是让学生形成一定的解题想法.实际上数学问题中都蕴含着函数思想.在代数、几何等相关数学问题的探析过程中，将有关问题转变为函数问题可以大大提升解题的效率，帮助学生形成一定的思维并深化学生的创新能力，不但增强了学生学习的主动性，也锻炼了学生的创造性思维.

（四）构造法在数列中的应用

在解决高中数学问题时，数列构造也是一种极为具有实用价值的解题形式.例如，等比数列、等差数列等都可以作为解答数学问题的重要方法.在实际的解题过程中，教师可以通过构造法将数学问题转变为学生所熟悉的等比数列，这样学生在解答时相对较为简单，有利于学生对数学知识的理解以及运用.

三、构造法运用于高中数学解题中的策略

（一）形成构造理念

有效运用构造法的前提条件是了解以及掌握构造法的真正含义.构造是采取一系列的措施，经过一定的流程以及步骤达成相应的目的.教师在为学生讲解构造法时，一定要以简单的、学生容易理解的形式，让学生通过自己理解和认知，采取合适的形式提高解决问题的效率，进而锻炼学生的思维.使用构造法可以将原本难以解决的问题构造为平时已经解决的简单问题，从而高效地完成相应的学习任务，并掌握知识内容.以方程为例，方程主要包括代数方程、曲线方程等，涉及的知识面极为广泛，而且对于学生来讲难度较大，不易精准高效地掌握.方程与函数、代数式等相关数学知识有着密切的关联，所以学生在解答疑难方程式的过程中合理采用构造法，可通过方程式的相应理论、性质等进一步强化对知识的记忆，理解数学知识内容，进而转化出更多的题目，解决更多的难题.高中生会通过自身的不断剖析与反思，逐步将生活中的数学知识融入高中数学知识的学习中，自己创造更多的学习机会，促进良好学习习惯的形成.

（二）结合解题方式

在高中数学教学中，解题方式多样，构造法只是其中一种高效的解决形式，并不适用于所有的数学问题，还需要与其他的解决方式进行一定的结合，才能够发挥最大的成效，真正做到将疑难问题简单化.例如，在解决方程、函数、不等式、绝对值等问题时，最基本的思路都是将绝对值转化为不含绝对值的问题，其中运用分类讨论、几何意义等方式能够在实际的解题过程中将自己的思维进行一定的转变，将题目中的条件以及概念、性质等进行有效的解析，在最短的时间明确最合适的解决思路，选择最有效的解决方法，进而高质量地解决疑难知识点.将多种解决问题方式进行一定的结合，不仅可以实现解决问题成效的提升，还能够锻炼学生的思维，使学生在学习过程中逐渐形成自主学习的相关能力.

（三）促进多向思维

从初中到高中，数学知识相对以往更具抽象性，而且内容复杂.若是学生还是一成不变地采用固有的思維方式去学习新的数学知识和思考新的数学问题，则很难将其中的知识点高质量地掌握，从而无法在实际的学习过程中进行运用.所以教师在开展数学知识的教学过程中，一定要注重对学生多向思维的培养，让学生将固有思维的局限性打破，合理地使用构造法，还要运用概括法、类比法等多种思维模式将数学问题中隐含的关系、条件等有效提取，从而构造数学解题模式，让解题变得更灵活且多样，促使学生高质量地解决问题，思维向更全面的方向发展.

（四）养成转化思维

若学生在学习知识的过程中无法通过直观的概念进行一定的引领，在探究本质上则较为困难，因此，教学时一定要运用数形结合这一理念，通过数字与图形的有机结合，帮助学生以最快的速度发现解决问题的方式.在教学中，教师要引领学生形成一定的转化思想，让学生可以对不同类型的问题进行合理的分析，形成一定的学习习惯，促使学生更愿意思考，从而提高思维能力及创造能力.

四、结束语

根据以上针对构造法在高中数学解题中的有效应用展开的详细分析，我们能够更加明确地了解，对于高中生而言，各科的学业压力都比较大，因此，在解决难度较大、数量较多的数学问题时，很难保持较高的积极性和主动性.鉴于此，为了将学生学习数学知识的主观能动性充分激发出来，教师将构造教学法合理地结合其中，将数学问题简化的同时，使学生思维方式更灵活，从而使高中数学教学质量和效果提升到一个新的高度.

【参考文献】

[1]杨燕.浅析构造法在高中数学解题中的应用[J].读与写（教育教学版），2016（9）：112-114.

[2]王志宝.高中数学解题教学中如何巧用构造法[J].赤子（上中旬），2015（18）：317-319.