带有佩亚诺余项的泰勒公式的推证方法

沙萍

【摘要】在带有佩亚诺余项的泰勒公式教学中，提出与教材不同的探究问题：是否能拆分函数的一次近似公式对应的余项，分解出小的余项，得到函数精度高的近似公式？并以拆分余项作为“切入点”，采用探索式教学法，得出函数需要满足的条件和函数带有佩亚诺余项的二阶泰勒公式.由此引导学生猜想并推证出函数带有佩亚诺余项的三阶泰勒公式.观察函数满足的条件与得到的带有佩亚诺余项的二阶、三阶泰勒公式的形式之间的规律，利用数学归纳法，做出假设，再推证出函数带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式.

【关键词】佩亚诺余项;泰勒公式;探索式教学法;拆分余项

一、在泰勒公式推证中应用探索式教学法的意义

高等数学是我校在大学一年级开设的一门重要的公共基础课，其核心是函数的微积分理论与应用，是学生学习后继课、参加数学建模等课题研究活动及研究生升学考试所必备的数学基础.但是高等数学是一门理论性很强的经典课程，对初学者来说不容易理解和掌握.泰勒公式又是经典中的经典，被称为经典微分学的“皇冠”.如果按照教材的方法介绍带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式，学生对函数满足的条件及证明过程会感到费解.

为了解决上述问题，我在教学中采用探索式教学法，先引导学生回顾原有知识，从中提出需要探索的问题，培养学生的“问题意识”.再以问题为导向，寻找探索的“切入點”，启……