一类Sobolev空间紧嵌入定理

林振生

(1.福建工程学院 计算机科学与数学学院，福建 福州 350118；2.福建师范大学 数学与信息学院，福建 福州 350117)

为纪念前苏联科学家 Sobolev，学者们将一类函数空间命名为 Sobolev空间，它是寻找椭圆方程解存在性常用的基本工具[1]2,[2]1。有关 Sobolev 空间有大量的研究工作及应用场景[3-5]。郭玉霞等人[5]研究了带有某类深井位势的双调和方程极小能量解的存在性。Liu等人[4]在更一般位势假设下，研究某类非线性SchrÖdinger方程解的存在性，提及一类比普通深井位势更弱的位势函数，工作空间具有一定的紧性嵌入性质。但未给出该结论的证明。这结论也出现在文献[6]引理3.4，Zou[6]45利用命题1.13(有界区域上的Sobolev 嵌入定理)及命题1.16(Gagliardo-Nirenberg 不等式)给出这一紧嵌入定理的详细证明。而为能利用锥上的上同调环绕变分方法解决一类带有位势函数的p-Laplace方程非平凡解的存在性问题，Liu[3]给出更弱意义下的 Sobolev 空间紧嵌入定理。近十年来，带不同位势函数的Sobloev空间及其应用一直是学者们关注的问题，是否存在比文献[4-6]中位势函数更弱的位势函数？如果存在，那么在研究p-Laplace方程非平凡弱解存在性时，这类更弱位势函数的Sobolev空间是否也存在紧嵌入定理？本文力图论证带更弱位势函数的一类Sobolev函数空间存在紧嵌入定理。

1 问题描述及主要结果

过去学者们常使用满足如下(V0)、(V1)条件的位势函数V(x)：

在深井位势函数环境下, 郭玉霞等[5]人研究了带深井位势的双调和方程极小能量解的存在性。而在文献[7]中，Bartsch等人也在(V0)、(V1′)假设下，研究下列非线性SchrÖdinger方程解的存在性

(1)

其中，(V1′)对于任意的b∈R,m({x|V(x)≤b})<+

(2)

Bartsch等在文献[8]中提出一类带有(V2)条件的位势函数:

而Liu等在文献[4]第三节中研究一类带有(V2)条件的位势函数的非线性SchrÖdinger方程解的存在性,但未给出紧嵌入定理的证明。以下给定两个条件记号(V1″)、(V2′)：

(V1″)对于任意的b∈R,{x|V(x)≤b}是有界的；

其中,Ab(y):={x|V(x)≤b}∩Br(y)。

可得：条件(V1)与(V1″)等价；条件(V2)和(V2′)也等价；条件(V1′)比(V1″)更弱；条件(V2′)比(V1′)更弱。

假设位势函数V(x)满足(V0)、(V2)两个条件，论证带有这类更弱位势函数的一类Sobolev空间存在紧嵌入定理。

定理1.1假设(V0)、(V2)成立，那么，X→→Lt(RN),对于一切的2≤p≤t

由于(V0)条件的假设及X空间的定义，借鉴文献[9]附录A，可知X是一个自反、可分的Banach空间。同时，存在连续嵌入结论：X→Lt(RN)，对于一切的 2≤p≤t

注记1.1 假设(V0)、(V1′)成立，那么，X→→Lt(RN),对于一切的2≤p≤t

注记1.2 假设(V0)、(V1)成立，那么，X→→Lt(RN),对于一切的2≤p≤t

注记1.1是文献[3]引理2.1，由于定理1.1中V(x)条件更弱，因此它是更一般的结论。除此之外，定理1.1允许p≥2且V(x)条件也更弱，推广了引理3.4[6]45，这正是注记1.2。同时发现，存在满足(V1)条件却不满足(V2)条件的函数，如：V(x)=|x|2,V(x)=C+|x|2,其中C是一个正的常数。而由于定理1.1条件更弱，且不仅仅包含p=2的情形，还包含p>2，面临新的困难，需要新的处理技巧及新的工具。

除特别说明外，Ci(i∈N)表示不同的常数。描述空间两者关系时，→表示连续嵌入；→→表示连续紧嵌入；⇀表示弱收敛；N表示全体自然数组成的集合；R表示全体实数组成的集合；RN表示N维欧几里得空间；|·|p表示Lebesgue 空间Lp(RN)的标准范数。

2 基本引理

给出两个准备引理，分别是插值不等式(HÖlder不等式)及有界区域上的紧嵌入定理(Rellich-Kondrachov定理)：

引理2.1[2]27假设1≤r

(3)

3 主要定理证明

定理1.1的证明。

假设{un}是X中一有界序列，un⇀u在X中成立，则un→u在Lt(RN)，对一切的2≤p≤t

其中，vn:=un-u。由于{vn}是Lp*(RN)中有界序列，而vn→0在Lp(RN)中成立，推得vn→0在Lt(RN)中成立。也就是说对于一切的2≤p≤t

以下证明：un→u在Lp(RN)成立。

(4)

再由引理2.2，有W1,p(BR0)→Lp*(BR0)。于是，存在一个正数C1，使得对于u∈W1,p(BR0)，有

|u|Lp*(BR0)≤C1‖u‖W1,p(BR0)

联立这个连续嵌入不等式以及式子 (4) 及{vn}有界性，可推得

(5)

除此之外，还有

(6)

因为(V0)、(V2)成立，{vn}是X中的有界序列。因此，结合式(5)和(6)，对于任意>0，容易推得以下结果

对于足够大的b、R0成立。

故，un→u在Lp(RN)中成立，证毕。

注记1.1的证明：

由于条件(V2)比条件(V1′)更弱，仿照定理1.1的证明，容易得到该注记的证明。

注记1.2的证明：

由于条件(V2)比条件(V1)更弱，仿照定理1.1的证明，也同样容易得到该注记的证明。