“以某线段为直径的圆过某点”的条件如何用？

江苏省苏州市吴中区长桥中学 (215128) 王建林

在许多解析几何的综合题中，常有条件“以某线段为直径的圆过某点”，这实际上是告诉你两个线段所在的直线互相垂直，可以用向量或斜率建立一个等式，为后续成功解题创造了有利的条件，下面举例讲述几种应用，供参考.

一、确定参数的值

点评：本题中，是利用“以线段AB为直径的圆恰好经过原点”的条件得到了一个m的方程，通过解方程得到m的值，这样求直线方程问题就解决了.

二、利用圆恒过定点

(1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

点评：本题中抓住“以PQ为直径的圆恒过定点”，得到一个等式恒成立，这样就求出了定点坐标，从而所给条件得到了充分的运用.

三、证明直线过定点

(1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点.

点评：本题中也是抓住“以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点”建立了一个等式，再由根与系数的关系化简等式，然后解得参数的值，为后续证明直线过定点铺平的道路.

四、确定点的存在性

点评：点D(m,0)是否存在，就是能否求出实数m的值，这里抓住“以MN为直径的圆恰好过”建立一个等式后，然后求出参数m，再利用其它条件(如判别式能否成立等)确定这个m符合题意，这样存在性就得到了证明.