两有趣数学问题的优解探析

江西省萍乡中学 (337000) 贺 江

有这样两个有趣的数学问题：

问题1一个合唱团共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员.如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案.

方案一：逐一通知，需要15分钟才能通知到每一个队员.

方案二：把学生分成两组，一组8人，一组7人，两分钟后组长通知组员，最快8分钟才能通知到每一名队员.

方案三：把学生分成三组，一组6人，二组5人，三组4人，最快7分钟才能通知到每一名队员.

方案四：把学生分成四组，一组4人，二组4人，三组4人，四组3人，最快5分钟才能通知到每一名队员.

思考：是不是组分得越多，用的时间越少？(因为每组的组长也需要通知)怎么分组才能使得所需时间最少呢？

分析:在上面的方法中，存在老师或者学生在有空档的时间里面没有打电话给别人.最优方案是：所有得到通知的师生，在下一分钟都通知给另外的不知情的学生，才能使总时间最短.此时，每一分钟后知情的人数(包括老师)会增加一倍.

解析：老师第一分钟打给任意一个学生，第二分钟老师和学生打给另外的学生，此时有4人(包括老师)知道通知了，第三分钟4人均打给不知情的4人，共有8人(含老师)得到通知了，第四分钟8人均打电话给剩下不知情的8人，到4分钟后15人全部通知到位.

老师把合唱团15名同学编号，第一分钟老师通知1号；第二分钟老师通知3号，1号通知2号；第三分钟，老师通知7号，1号通知5号，2呈通知4号，3号通知6号；……