加权p-Laplace方程径向解的低维不稳定性
2021-04-21 09:46:44张丹蕾
安阳师范学院学报
2021年2期
张丹蕾
(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)
0 引言
本文主要研究以下方程
-Δpu(x)=|x|αf(u(x))x∈RN
(1)
其中Δpu(x)=div(|▽u|p-2▽u),f∈C1[a1,a2],-∞≤a1
成立,则称u为方程(1)的弱解。
定义2 设u为方程(1)的弱解，若对任意
成立,则称方程(1)的弱解u为稳定的。
若u为方程(1)的稳定弱解,由(▽u▽φ)2≤|▽u|2|▽φ|2有
本文主要研究幂权重|x|α对p-Laplace方程径向解稳定性的影响。目标是在p≥2,α+p>0且允许存在单侧有界解u的情况下,寻找临界维数N#,使方程(1)的任意非常数径向解在p≤N≤N#时均为不稳定的。
为了避免符号混乱,用u(r)代替u(x),其中r=|x|,x∈RN。用ur表示径向函数u的径向导数。
1 记号与引理
若u为定义在G上的函数,记
χ(0,S)={1,x∈(0,S)
0,x∉(0,S)
关于方程(1)的径向解有一个有趣的事实,即通过变量的适当变换,含有幂权重|x|α的方程(1)可以在新的分数维中转化为具有常数权重的p-Laplace方程。为此,参考p=2时Cowan-Goussonb给出的具体方法[8],并将它推广应用到RN中。
直接计算,有
又由Δp,Nu(r)=-rαf(u(r)),有
(2)
且vs在[a,b]中不改变符号。
证明由v(s)为
的稳定径向弱解,我们有vs(0)=0,且对任意
(3)
(4)
由经典椭圆正则性理论[9]知vs∈C2[a,b],0 (5) 用sN*-1ψs,ψ∈C1[a,b]乘以(5)式且在(a,b)上分部积分 +(sN*-1|vs|p-2vs)s]ψds 因此, 下证vs在[a,b]中不改变符号。 给定s0>0使vs(s0)≠0，由vs的连续性可令(a0,b0)为[0,+∞)中vs≠0的最大区间,其中0≤a0 反证,假设b0<+∞，对很小的ε>0,在(a0+ε,b0-ε)上应用(2)式,且令ψ=vs有 (6) 由(5)式与洛必达法则得，a0=0时,有 a0>0时,有 综上可得 (7) 因此,有 sN*-3|vs|p∈L1(a0,b0) (8) 在(6)式中令ε→0,由vs(a0)=vs(b0)=0,得 (9) 由(8)式,有 (10) 给定ε>0,令0≤φ≤1在R中满足 由φ定义我们有 由(7)式与推广的积分第一中值定理,存在η∈(a0+ε,a0+2ε)有 (11) 由Holder不等式、(10)式和(11)式,有 由(9)式与上述不等式,有 矛盾。所以vs在[a,b]中不改变符号。
2 主要……
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