立足最近发展区 培养有序思维

邵欢欢

[摘 要]在初中几何学习起始阶段，应立足学生最近发展区，注重培养学生的有序思维，发展合情推理能力和逻辑推理能力，以使学生的思维从盲目变为有序.

[关键词]最近发展区;有序思维;全等三角形

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0003-02

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.在教学实践中，教师要培养学生科学的思维方式，养成良好的思维习惯，在分析和解决问题的过程中逐步形成良好的思维品质.

有序思维是指思考和解决问题时遵循一定的顺序，按照特定的线索和步骤去探索，步步向前推进，直至完成任务、实现目标的一种思维方式.有序思维可以使学生的思维从盲目变为有序。培养学生的有序思维是培养学生思维能力最基本、最重要的途径，是提高学生分析和解决问题能力的重要抓手.

笔者曾执教过一节区级公开课《全等三角形复习》，全等三角形是初中几何的基础知识之一，是七年级学生初步学习几何证明，培养“几何直观”和逻辑推理能力的起始内容。现阶段的学生应用合情推理能力和逻辑推理能力不太强.授课学校的学生刚学完HL判定定理，对全等三角形的认识比较浅，学生几何基础水平不高.笔者立足以上学生的最近发展区，将教学设计定位于基础知识的复习与巩固、基本技能的操作与训练，培养学生的有序思维，发展学生的合情推理能力和逻辑推理能力，提高学生分析与解决几何问题的能力.

一、体验开放题，培养有序思维

[例1]如图1，在△ABE中，点D在AB上，点C在AE的延长线上，连接CD，交BE于O，AD=AE，要使△ABE?△ACD，需添加一个什么条件？

设计意图：学生刚学完全等三角形的五个判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，对于它们之间的区别与联系，学生还不是很清晰，在选择合适的判定定理证明两个三角形全等时，还存在困难，因此笔者设计了例1，教学时引导学生先寻找有利于证明两个三角形全等的条件：AD=AE和∠A=∠A，即已知一边和一角，再对照五个判定定理，添加合适的条件，引导学生思考：想要使用SAS定理，可以添加AB=AC;想要使用ASA定理，可以添加∠AEB=∠ADC;想要使用AAS定理，可以添加∠B=∠C.

通過开放题的练习，培养学生的有序思维：先寻找证明△ABE和△ACD全等的已知条件，再选择判定定理，最后确定需添加的条件.让看似感觉无序的题目，在有序思维的指引下，找到解题的思路，同时也复习了SAS、ASA、AAS等判定定理.

练习：如图2，已知OB=OC，要使△ABO?△ACO，需添加一个什么条件？

设计意图：再次练习开放题，培养学生的有序思维.先寻找证明两个三角形全等的已知条件：OB=OC和OA=OA，即已知两边，再对照五个判定定理，引导学生思考：如果选择SAS定理，需要添加∠AOB=∠AOC;如果选择SSS定理，需要添加AB=AC.

开放题的答案有多个，学生初次解答感觉没有头绪，其实其蕴含的内在规律是可以探究的.教学中，教师要引导学生有条理、有序地分析问题，要从呈现解题结果的教学，转换到揭示解题思维过程的教学.在体验开放题的学习中，学生逐渐形成有条理的、比较严密的思维习惯，使思维能够从无序状态向有序状态转变.

二、感悟关联性，培养有序思维

[例2]如图3，在四边形ABOC中，已知AO平分∠BAC，AO平分∠BOC，点F在AO上，连接BF，CF.

（1）求证：△ABO?△ACO;

（2）求证：BF=CF..

设计意图：本例题的教学分为两个阶段，第一阶段，依次解答两个小题.第（1）题考查学生应用ASA定理判定两个三角形全等的能力;第（2）题考查学生应用全等三角形性质的能力.引导学生从结论开始分析，执果索因，进行合情推理.要证BF=CF，需证△FBO?△FCO，易证∠FOB=∠FOC和FO=FO，再需证明一个条件即可.由（1）知△ABO?△ACO，可得BO=CO，从而两个三角形全等得证，结论得证.第二阶段，对例2进行变式，删除第（1）题，保留第（2）题，追问：如何进行证明？在第一阶段分析的基础上，继续引导学生执果索因，要证BF=CF，需证△FBO?△FCO，再需证明一个条件即可.可根据已知条件证明△ABO?△ACO，可得BO=CO，从而结论得证.变式通过删除第（1）题，增加了题目的难度，延长了合情推理的过程，进一步训练学生的有序思维.

学生的思维并没有固定模式，如果任由其发展，就很容易走偏.数学题目分为条件和结论两部分，数学题目的解答就是根据已知条件和数学原理推导出结论，条件与结论有密切的关联.因此，探究这种关联就成为思考数学题目的主要任务.七年级学生在学习全等三角形知识时，几何直观和逻辑推理都处于初步阶段，引导学生执果索因，开展合情推理，感悟条件与结论之间的关联，有利于培养学生的有序思维.

三、添加辅助线，培养有序思维

[例3]如图4，在△ABC中，AB=AC，点O为BC的中点，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥AC，垂足为M、N，求证：OM=ON.

设计意图：引导学生从结论开始分析，执果索因，进行合情推理.要证OM=ON，需证△MBO?△NCO，而已知OB=OC和∠BMO=∠CNO，只需要再证一个条件即可.根据现有的条件无法得到证明这两个三角形全等的条件.由于七年级学生还没有学习等边对等角及角平分线定理，因此想到添加辅助线，联想到AB=AC和OB=OC，联结AO，易证△ABO?△ACO，从而得到∠B=∠C，则△MBO?△NCO得证，进而OM=ON得证.

解答几何证明题时，在现有的图形条件下不能进行有效的证明，需要添加辅助线，从而扫清思维障碍，为正确解题提供帮助.辅助线的添加是有规可循的.《中学数学课程标准与内容分析》中指出“数学中抽象的对象绝不是无根之木、无源之水”.几何证明题的解答，需要找到它的“根”和“源”，它的“根”和“源”是建立在几何直观与合情推理的基础上的，而合情推理的开展又是建立在有序思维的基础上的.本题在合情推理时，发现证明△MBO?△NCO还缺少一个条件，这就是添加辅助线的“源”，再根据AB=AC和OB=OC两个条件，想到联结AO，证明△ABO?△ACO，从而得到∠B=∠C，补全了证明全等缺少的条件.通过本例题的教学，启发学生添加辅助线，厘清思路，找到条件与结论的关联，既正确解答了数学问题，又培养了学生的有序思维.

在数学教学中，教师不仅要传授数学知识，而且要培养学生的有序思维;要有意识地引导学生开展合情推理，引导学生有步骤、有条理、渐进式地开展数学学习活动，从观察、表达、操作以及实践等诸多环节着力培养学生的数学有序思维，让学生的思维从“无序”到“有序”，养成良好的数学思维习惯，为今后的学习、生活和可持续发展打下坚实的基础.

（责任编辑 黄桂坚 ）