直线拟合的技术综合法及稳健性判据

郭旭波 肖志刚 朱美红 常 缨朱鹤年

(清华大学物理系,北京 100084)

误差分析和实验数据处理是物理实验的重要环节。在物理实验教学中,当已知两个物理量成较严格的直线关系时,常常先测量多组散布的实验数据,再通过拟合的方法求出直线斜率和截距的最佳估值。直线拟合有多种方法。常用的最小二乘法使残差平方和极小,计算简便,然而稳健性(抗粗差性)较差。最小一乘法使残差绝对值之和极小,但算法较复杂。本文在分析传统直线拟合方法的特点的基础上,提出了技术综合方法,并通过蒙特卡罗方法定量地比较了不同直线拟合方法的稳健性。

1 传统直线拟合法的特点分析

1.1 最小二乘法(least squares method,LSM)

勒让德与高斯创立的最小二乘法,使残差平方和(residual sum of squares,RSS)极小,LSM是统计学发展中的里程碑[1]。直线拟合常用LSM,对n个数据点(xi,yi)求出回归直线方程=b0+b1xi。LSM 的前提是高斯-马尔科夫假定:因变量yi具有独立、同分布的随机误差[2,3]。我们可用反证法粗略说明:测量多点散布数据作直线拟合,散布数据拟合主要目的是为减小因变量yi中随着自变量xi不同而具随机性的未定系统误差的影响[4],LSM 令极小而使稳健性(抗粗差性)变差,其中vi=yi-为残差。直线两端的数据点yi的误差ei对拟合斜率b1影响大,因为|∂b1/∂yi|∝|xi-，其中为xi的平均值。

1.2 最小一乘法(least absolute residuals method,LARM)

稳健性好,它以残差绝对值之和(sum of absolute residuals,SAR)极小为依据,SAR=由于LARM 算法较复杂,它的出现虽然比LSM 约早40年,但直到60年前进入计算机时代才开始被逐步推广[1]。

1.3 简化拟合法(simplified fitting method,SFM)

当n′为偶数且n′≤n时,用式由n个数据点(xi,yi)求斜率,是前计算机时代国外早已使用的简化拟合法[5]。……