第20届亚洲物理奥林匹克竞赛理论试题3介绍与解答

(清华大学物理系,北京 100084)

第20届亚洲物理奥林匹克竞赛于2019年5月5日至13日在澳大利亚阿德莱德举行。由清华大学物理系率领代表中国参赛的8名中学生获得了总共9枚金牌中的6枚[1],取得了相当优秀的成绩。与往年相比,本次竞赛的题目难度较大,整体成绩偏低,按既定规则给出的金牌数与奖牌数都大幅度少于往届(例如2014—2018年每届金牌数平均为32枚)。本次竞赛理论试题共三道,每道10分。其中第三道关于翻转陀螺的问题[2]很有意思。翻转陀螺对于很多人并不陌生,在网上可以买到玩具,网上还有玻尔和泡利兴致勃勃玩翻转陀螺的照片。它在我国的力学教材中也有提到[3],但多是定性或半定量说明,缺少模型简化与详细计算。在本次竞赛中,出题委员会将翻转陀螺进行了模型简化,考查参赛者对于力学中转动与坐标变换等基本知识点的掌握与计算能力,把一个玩具变成一道正统而有趣的物理题目。从竞赛结果看,本题有一定难度,在三道理论题中其平均分数最低,所以值得对它进行详细的介绍与解答。

1 翻转陀螺试题介绍

翻转陀螺指的是一种特殊的陀螺,它被转动后可以自行翻转。我们可以将它模拟为一个半径为R的球体,有一端被切除后,加上一根短杆,总质量为m。它具有对应与穿过短杆的轴的旋转对称性,该轴与竖直方向成一夹角θ。沿着此对称轴,从其质心C到几何中心O的直线距离为αR,如图1(a)所示。翻转陀螺与地面的接触点为A;我们假设地面是平面的,并将其称为地板。……