RLC串联谐振曲线对称性与品质因数Q的关系

骆金锋，谢志寒，吴 莎，李雪梅

(浙江海洋大学，浙江 舟山 316022)

RLC谐振电路是大学物理实验的组成部分，它虽然电路结构简单，但却在信号选频、滤波等方面发挥着重要的作用。而信号选频性能的好坏可由如图1I-f关系曲线中谐振曲线的对称性和尖锐性来反映，为此对谐振曲线的对称性进行了深入探讨和研究。

图1 I-f关系曲线

首先，利用普适函数推导了谐振曲线对称性和尖锐性与品质系数Q的关系，然后根据张超军[1]，郑桂容等[2]，刘睿等[3]提出的利用测量LC两端的电压替代测量电阻R两端电压以便于更加快速精确地找到谐振点、减小实验误差的方法，结合控制变量法进行分组实验，最后对得到的实验结果进行分析，发现品质因数Q的大小实际由谐振曲线的对称程度决定。

1 实验原理

如图2所示，假定交流信号发生器的输出信号的圆频率为ω，回路中电流为I且信号源电压为U。则电路中的阻抗值为：

(1)

(2)

在实际操作过程中，通过理论计算出理论上的谐振频率，尔后通过示波器测量电阻R两端的电压，找到电阻R两端最大的电压值所对应的频率即为谐振频率。根据实验结果，谐振频率的理论值和实际值基本吻合。

图2 RLC串联电路图

品质因数Q为谐振时电感L两端的电压或电容两端的电压与信号源输出电压的比值，它标志着谐振电路性能的好坏，也是实验中重点关注的数值。

(3)

2 公式论证

事实上，通过适当标度可以将谐振曲线I-ω写成普适的形式。由公式(2)可得：

(4)

(5)

3 控制变量论证

周尚万[4]在文中提出只有在品质因数Q较大时，才可以把串联谐振称为电压谐振；竺江峰等[5]也在大学物理实验一书中提出在实验中要尽量保障Q≫1。因此，在实验中设定仪器参数时，首先保证了品质因数Q值的大小。

(1)控制电容C为变量，则品质因数Q与谐振频率f0成正比，f0越大，则Q也越大。

第一组控制变量实验为在保证电感L为10 mH，电阻R为10 Ω，电源电压为3 V的情况下，改变电容的大小，分别令电容C为0.022 μF、1 μF、4.7 μF，得到品质因数Q为67.4、10、4.6时的三条谐振曲线。由该组谐振曲线可看到，随着电容C的增大，谐振频率f0减小，品质因数Q也随之减小，谐振曲线也逐渐变得不对称。

在该组控制变量实验中，似乎可以验证权建军[5]和陆申龙[6]所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点，但事实并非如此，在控制变量的另外两组实验中便可以得到验证。

(2)控制电感L为变量，则品质因数Q随电感L的增大而增大，而谐振频率f0随之减小。

第二组控制变量实验为在保证电容C为1 μF，电阻R为10 Ω，电源电压为3 V的情况下，改变电感的大小，分别令电感L为100 μH、1 mH、100 mH，得到品质因数Q为1、3.16、31.6时的三条谐振曲线。由该组谐振曲线可知，随着电感L的增大，谐振频率f0减小，而品质因数Q随之增大，谐振曲线也变得更加对称。

在该组控制变量实验中，随着谐振频率f0的减小，谐振曲线反而变得更加对称。权建军[6]和陆申龙[7]所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点便可以轻松得到反驳。

(3)控制电阻R为变量，则品质因数Q随电阻R的增大而减小，而谐振频率f0与电阻阻值大小无关，因此保持不变。

第三组控制变量实验为在保证电容C为0.022 μF，电感L为50 mH，电源电压为3 V的情况下，改变电阻的大小，分别令电阻R为10 Ω、100 Ω、1 000 Ω，得到品质因数Q为150.75、15、1.5时的三条谐振曲线。由该组谐振曲线可得，随着电阻R的增大，谐振频率f0不变，而品质因数Q随之减小，谐振曲线变得更加不对称。

在该组控制电阻R为变量的实验中，随着阻值R的变化，谐振频率f0并没有发生变化，亦可以证明权建军[6]和陆申龙[7]所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点是错误的。

表1 控制变量法得到的三组谐振曲线

由上述谐振曲线可知：若仅改变电容C，随电容C的增大，谐振频率f0减小，品质因数Q也随之减小，谐振曲线也逐渐变得不对称。根据这组实验数据似乎可以验证权建军[6]和陆申龙[7]所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点，但根据后两组实验得到结果便可以推翻这个结论。若仅改变电感L，随电感L的增大，谐振频率f0减小，而品质因数Q随之增大，谐振曲线也变得更加对称。若仅改变电阻R，随电阻R的增大，谐振频率f0不变，而品质因数Q随之减小，谐振曲线变得更加不对称。在后两组实验中，一组实验得到了完全相反的结果，而另一组则直接表明谐振曲线的对称性与谐振频率无关。

4 结 语

根据以上三组控制变量实验结果可以得出，RLC串联谐振曲线的对称性并不受谐振频率f0的影响，而是由品质因数Q的大小决定的。因此，通过理论和实验分别证明：当品质因数Q越大时，谐振曲线的对称性越好，谐振峰也越尖锐，电路的选频性能也越强。