基于威布尔分布的改良品质押融资质押率决策研究

秦滢 张云丰

摘  要：存货质押融资业务的广泛开展能够有效缓解中小微企业普遍存在的融资难问题。文章以改良品作为质押对象，考虑改良品在质押期间的改良率服从两参数威布尔分布，讨论金融机构视角下的改良品质押率最优决策。通过构建金融机构的期望收益函数，求解最优质押率的一般表达式，分析最优质押率与其主要影响参数的相关关系。研究结果表明，最优质押率随市场需求的增加而增加，随存款利率的增大而减小，随贷款利率的增大呈现先增加后减小的特征。最后，给出一个数值算例并结合敏感性分析对文中结论进行验证。

关键词：存货质押融资;改良品;威布尔分布;质押率

中图分类号：F275.6    文献标识码：A

Abstract： The extensive development of inventory financing business can effectively alleviate the financing difficulties prevalent in micro， small and medium-sized enterprises. This paper takes the ameliorating items as pledge object， considers that the ameliorating rate is subject to two-parameter Weibull distribution during the pledge， and discusses the optimal decision of pledge rate for the ameliorating items from the perspective of financial institutions. By constructing the expected return function of financial institutions， the article solves the general expression of the optimal pledge rate， and analyzes the correlation between the optimal pledge rate and its main influencing parameters. The results show that the optimal pledge ratio increases with the increase of market demand， decreases with the increase of deposit interest rate， and increases first and then decreases with the increase of loan interest rate. Finally， a numerical example and sensitivity analysis are given to verify the conclusion.

Key words： inventory financing; amelioration items; Weibull distribution; pledge rate

0  引  言

融資难问题一直是我国中小微企业发展壮大过程中的拦路虎。受制于固定资产抵押不足、自身信用评级偏低、缺乏第三方担保及银行等金融机构“傍大款”等因素影响，中小微企业一般很难直接从金融机构获得贷款。存货质押融资业务的兴起，为解决中小微企业融资难提供了新的思路。与传统抵押贷款相比，存货质押融资不需要以固定资产和设备作为贷款抵押，只需要向金融机构提供库存产品，并将质押物交给金融机构指定物流企业进行保管，就可以贷到所需款项[1]。对于固定资产抵押不足、存货相对丰富的中小微企业来说，存货质押融资是较为合适的融资方式。

存货质押融资业务开展初期，质押物多选择质地稳定，市场价格波动小，大宗货物变现能力强的工业原料和大量消费产品，后来随着业务的逐步成熟，用于充当质押物的物品种类逐步扩大[2]。近年来，存货质押融资业务开展实践中，以改良品作为质押物申请质押融资的现象也越来越普遍。改良品（Ameliorating Items）是指在持有期间，随着时间的推移，自身会发生数量增加、重量增长或质量改善等现象，从而使得经济价值或效用获得提升的一类物品[3]。现实生活中有许多改良品的例子，如处于育肥期的生猪、快速生长的家禽、鱼塘中饲养的鱼、基地培植的水果蔬菜、酒庄里储存的高档酒类等[4]。与大多数工业产品相比，改良品一般具有生产周期长及季节性等特点，在生产过程中往往会导致资金周转效率较低，给生产企业的资金链造成巨大压力。

相比于实践中改良品质押融资业务的开展程度，学术界对改良品质押融资的理论研究却明显滞后，存货质押的研究对象主要为普通货物及易损耗物品。研究内容围绕着存货质押融资业务风险影响因素的有效识别[5]、风险评估[6]、风险指标的控制[7-8]展开。近年来，学者们将存货质押融资与企业运营相结合，讨论制造商/零售商存在资金约束时的综合运营决策，如融资决策对企业运营绩效的影响[9-10]、供应商定价策略及金融机构放贷政策对融资企业质押决策的影响[11-12]等。另外，部分学者考虑质押物在质押期间发生损耗时各参与方的最优融资决策[13-14]。本文在现有研究成果的基础上，选择以改良品作为质押对象，从金融机构视角出发，考虑预期利润最大化下的最优质押率决策，并分析相关参数对最优质押率设定的影响方式，以期能为金融机构开展改良品质押融资业务提供决策参考。

1  问题描述与基本假设

融资企业运营过程中存在资金短缺，且无符合要求可用于抵押的固定资产，现公司尚拥有相对充足的在库改良品可申请质押融资。改良品在质押期间发生以重量增长为特征的改良现象，改良率服从两参数威布尔分布，即其时间密度函数表示为ft=αβt·exp-αt，其中α， β是威布尔分布的两个未知参数，满足α>0、0<β<1。设有重量为Q的改良品在时刻0被质押，在时刻T质押结束后被解押销售，因此改良品的质押周期为T。改良品的市场需求连续、均匀且恒定为D，销售价格p保持不变;金融机构从储户吸收存款和向融资企业发放贷款的利率分别为I、I，均为单利;在质押期末改良品供给量超过市场需求量的部分可以以价格vv

2  模型构建与求解

若改良品在质押时刻t的净改良率为At，则有At=ft/1-Ft。其中，Ft为ft的累计分布函数。由于Ft

=fxdx=αβx·exp-αxdx=-exp-αxd-αx=1-exp-αx，因此有At=ft/1-Ft=αβt·exp-αt/exp-αt=αβt。改良品在质押期间任一时刻t的库存量满足微分方程dQ/dt=Q·αβt，解之得Q=Q·expαt。

金融机构在改良品质押期末能否收回贷款本息和取决于改良品在质押期末的市场价值。若市场价值大于贷款本息和，融资企业解押并销售改良品后，金融机构通过融资企业在金融机构开设的封闭式账户收回本息和;若市场价值不足以偿还贷款本息和，则融资企业就会选择违约，金融机构有权处置改良品，将所得补偿部分本息和。

设以质押时刻t的改良品库存量作为质押物计量基数时恰好满足改良品在质押期末的市场价值等于融资企业应偿还金融机构的贷款本息和，则有：

pD+vQ-D=λpQ1+IT                                        （1）

將Q=Q·expαt代入式（1），解得：

t=ln-lnλ                                     （2）

当融资企业和金融机构约定的改良品质押物计量基数时刻t≤t，则此时融资企业不会违约，金融机构的预期利润为：

π=λpQIT-IT                                            （3）

反之，如果双方约定的计量质押物重量时刻t>t，融资企业在质押期末解押质押物获得的改良品市场价值将不足以支付贷款本息和，该情形下融资企业选择违约，金融机构的预期利润为：

π=pD+vQ-D-λpQ1+IT                                      （4）

综合上述分析，可得金融机构的期望利润函数表示如下：

Eπ=λpQIT-ITftdt+pD+vQ-D-λpQ1+ITftdt                     （5）

命题1  在改良品质押融资业务中，给定质押率服从两参数威布尔分布，则金融机构的最优质押率λ=minλ，1，其中，λ=·exp。

证明：将Q=Q·expαt及ft=αβt·expαt代入金融机构的期望利润函数，得到：

Eπ=λpIT-ITQ·expαt·αβt·exp-αtdt+pD+vQ-Dαβt·exp-αtdt

-λp1+ITQ·expαtαβt·exp-αtdt

进一步将上式转化为：

Eπ=λpQαIT-ITdt-pD-vQ-D·ed-αt-λpQα1+ITdt

=λpQαIT-IT·t-λpQα1+IT·t-pD+vQ-D·exp-αt

令M=，化简上式得到：

Eπ=λpQ1+ITlnM-lnλ+1-λpQαT1+IT-MpQ1+IT·exp-αT

对Eπ求λ的二阶导数，有dEπ/dλ=-pQ1+IT/λ<0。因此，Eπ是关于λ的凹函数。令Eπ对λ的一阶导数等于零，即：

=pQ1+ITlnM-lnλ-1-pQ1+ITαT-1=0

解得：λ=·exp，结合λ∈0，1，故有λ=minλ，1。命题得证。

推论1  金融机构设定的最优质押率λ与改良品的市场需求D之间存在正相关关系。

证明：由金融机构最优质押率λ的表达式得=·exp，已知p>v，因而>0，故得证。

推论1表明，当改良品的市场需求D增加时，金融机构设定的最优质押率λ应随之提高;市场需求D减少时，金融机构设定的最优质押率λ也应随之降低。其原因在于，改良品在质押时刻T的市场价值为pD+vQ-D=p-vD+vQ，而p>v，因此市场需求D增加时，改良品的市场价值增加，融资企业的违约概率减小，金融机构承担的风险减少，从而改良品的最优质押率λ便会相应提高。

推论2  金融机构设定的最优质押率λ与金融机构存款利率I之间存在负相关关系。

证明：由金融机构最优质押率λ的表达式得=·exp，顯然有<0，故得证。

推论2表明，当金融机构的存款利率I升高时，金融机构设定的最优质押率λ应随之降低;而当存款利率I降低时，设定的质押率λ应随之提高。其原因在于，维持金融机构贷款利率不变的情况下，若吸收储户的存款利率降低，则金融机构放贷成本降低，而质押融资业务的利润增加，相当于金融机构承担的风险变小。较低的存款利率有利于提升质押率。

推论3  当I<时，金融机构设定的最优质押率λ与贷款利率存在正相关关系;当I>时，金融机构设定的最优质押率λ与贷款利率存在负相关关系;当I=时，最优质押率λ的取值最大。

证明：令k=，以最优质押率λ关于金融机构发放贷款的利率I求一阶导数，并化简，得到

=-·1+IT-αT1+IT·exp，由于>0及exp，因此，当1+IT-αT1+IT<0，即I<时，有>0，此时最优质押率λ与金融机构发放贷款的利率I变化趋势一致;当1+IT

-αT1+IT>0，即I>时，有<0，此时最优质押率λ与金融机构发放贷款的利率I变化趋势相反;当1+IT-αT1+IT=0，即I=时，有=0，此时最优质押率λ可取得极大值。故得证。

推论3表明，在金融机构吸收储户存款利率不变的条件下，随着质押融资业务中贷款利率逐渐增加，金融机构的期望利润上升，因而金融机构倾向于提高质押率λ以发放更多的贷款来获得较大的利润。但金融机构发放的贷款额度持续增加，会使得融资企业的还贷压力也持续增加，导致违约概率变大，此时，金融机构可通过调整质押率λ来减少贷款额度，以降低融资企业违约的风险。

3  数值算例

在改良品质押融资业务中，相关参数赋值如下：融资企业期初质押的改良品重量Q=1 000千克，融资企业与金融机构约定的质押周期T=0.5年，改良品在质押期间的改良率服从两参数威布尔分布，且α=2.0、β=0.5，改良品面临的市场需求为D

=2 000千克，质押期末改良品的销售价格为p=10元/千克，未能及时销售的部分将以v=5元/千克的价格处理，金融机构从储户吸收存款的利率为I=5%/年，向融资企业收取的融资利率为I=10%/年。下面分别考察改良品市场需求D、金融机构吸收储户存款的利率I与发放贷款的利率I对质押率λ的敏感性分析。

图1给出了改良品市场需求发生变动时对最优质押率的影响。从图1可以看出，随着改良品市场需求的增加，金融机构设定的最优质押率也随之增大。改良品市场需求的增加，意味着改良品在质押期末的变现价值越来越大，融资企业在质押期末违约的概率越来越低。普通物品质押融资的质押率设定一般上限为0.7，但改良品质押融资的质押率设定不应受此限制。由于改良品在质押期间其自身价值随着时间的推进不断增加，因此越临近质押期末，金融机构面临的融资企业违约风险就越小，并在某个特定时间点改良品的市场价值与贷款本息和相等，然后改良品的市场价值逐渐大于贷款本息和，此时即使融资企业违约，金融机构也不会遭受损失。当然，在改良品的市场价值开始大于贷款的本息和的情形下，融资企业也不会违约。所以，改良品质押融资时的最优质押率设定往往比普通物品高。

图2给出了金融机构吸收储户存款的利率I发生变动时对质押率λ的影响。从图2可以看出，随着存款利率的不断增加，金融机构设定的最优质押率逐渐减小。显然，较低的存款利率有利于金融机构获得更多的期望利润，或者说金融机构获得单位期望利润的风险变得更小，因此金融机构设定的最优质押率随着存款利率的增加而减小。

图3给出了金融机构发放贷款的利率I发生变动时对质押率λ的影响。从图3可以看出，随着贷款利率的不断增加，金融机构设定的最优质押率也随之增加。然而，由推论3可知，金融机构设定的最优质押率并不是随着贷款利率的增加而持续增加。其实，当贷款利率增加时，融资企业在质押期末需要偿还的贷款本息和也在增加，因此违约的可能性越来越大，这样金融机构则需要控制最优质押率的取值，来确保自己获得尽可能多的期望利润。根据推论3给出的表达式可计算出，当贷款利率I=89.95%时，最优质押率取得最大值0.757，随后最优质押率开始下降。

4  结束语

本文研究了改良率服从两参数威布尔分布的改良品质押融资最优质押率决策，从金融机构视角建立期望收益函数，推导出最优质押率的表达式，并探讨了市场需求、存款利率及贷款利率等参数对最优质押率的影响。改良品质押融资业务在现实中已广泛开展，政府部门和金融机构也先后多次发文支持改良品质押融资，可以预见未来一段时间该业务将迎来快速发展。

金融机构在推广改良品质押融资业务过程中还面临着一些问题。如不同改良类型的改良品，甚至同一类改良品在不同的环境下，其在质押期间的净改良率数据也不相同。因此，金融机构在设定最优质押率时，需要得到改良品的大量改良数据来计算α、β值，这为金融机构开展改良品质押融资业务增添了些许困难。

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