一般匀强电磁场中电荷的相对论性运动

姜志锋

(鄱阳县第一中学 江西 上饶 333100)

黄亦斌

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330000)

匀强电场和匀强磁场同时存在时带电粒子的运动一直是大家感兴趣的话题．其讨论可分为两类：非相对论性的和相对论性的．对于前者，最早是文献[1]给出了一种漂亮的处理方式，后来大家从理论、轨迹、数值计算等几方面进行了详尽的讨论[2～6]．在相对论情形，讨论较多的是电场与磁场正交这一有趣的特例[7,8]．此时，只要|B|c≠|E|，就一定可以找到一个惯性系，使得其中只有电场或只有磁场，于是可以在新惯性系中求解问题，再利用洛伦兹变换得到原惯性系中想要的结果．这一思路具有鲜明的物理特色．

本文试对一般的匀强恒定电磁场讨论带电粒子的一般相对论性运动．当然，不能期望此时仍能找到类似的、物理特色鲜明的思路．

1 一般讨论

在自然单位制(c=1)下，相对论粒子的动量p和能量W分别为

(1)

其中m为固有质量，也就是牛顿力学中的质量．动量和能量满足质壳条件

W2-p2=m2

(2)

在电磁场中，带电粒子的动力学方程为

(3)

根据式(1)，这是关于速度v=v(t)的非线性微分方程组，即使在电磁场正交时也不好处理．所幸，我们可以将其改为另一形式．式(3)点乘v，得到

(4)

改用固有时(或原时)τ作为自变量

dt=γdτ

(5)

将式(5)代入式(3)、(4)，并利用式(1)，即得到一组关于四维矢量(W,p)的、协变形式的方程组

(6)

不失一般性，可设电磁场为

B=(0,0,B)E=(0,Ey,Ez)

(7)

且不妨设k,B,Ey,Ez≥0，因为其中任何一个反号都不难额外处理．于是方程组(6)写为

(8)

兹用微分算子法解之……