也证“平面平行运动刚体弹性碰撞前后相对速度大小相等”

王孝厂

(浙江省温州中学 浙江 温州 325014)

贵刊2020年第7期刊登了陈铁松老师的《平面平行运动的刚体弹性碰撞问题的探讨》[1]一文，文中作者证明了两个做平面平行运动的自由刚体“发生碰撞过程中，若发生碰撞的两点在碰撞力的方向上相对速度大小相等”，则“碰撞前后系统动能不变”[1]．

本文将从弹性碰撞出发，直接证明做平面平行运动的自由刚体和受理想约束的刚体发生弹性碰撞过程中，发生碰撞的两点在碰撞前后沿碰撞力的方向上相对速度大小相等．

1 两个自由的刚体发生弹性碰撞

如图1所示，有两个光滑刚体甲、乙，C1和C2分别为两刚体的质心，其速度分别为vC10和vC20，两刚体绕质心转动的角速度分别为ω10和ω20．两刚体在某一时刻发生弹性碰撞，刚体甲上的A1点与刚体乙上的A2点接触，并且刚体甲对刚体乙的冲量为I．由于没有摩擦，冲量I方向应沿过两刚体接触点的公法线(图1中PQ)．假设碰撞后刚体甲、乙质心的速度分别为vC1和vC2，两刚体绕质心转动的角速度分别为ω1和ω2，对过质心垂直纸面的轴的转动惯量分别为J1和J2．

图1 自由的刚体发生弹性碰撞

对刚体甲、乙分别应用质点系动量定理[2]得

-I=m1vC1-m1vC10

(1)

I=m2vC2-m2vC20

(2)

在碰撞过程中刚体的质心对地有加速度，设某时刻刚体甲质心加速度为aC1，在刚体甲的质心系中，刚体甲中任意质量为Δmi的质元都会受到惯性力ΔFi=-ΔmiaC1[2]．质元受到惯性力与重力Gi=Δmig相类似，重力的等效作用点为质心(重心)，容易得到刚体甲各部分所受惯性力的等效作用点为刚体甲……