谈拉格朗日方程在高中物理竞赛中的应用

孙 伟

(南京市雨花台中学,江苏 南京 210012)

对高中物理力学竞赛题的处理基本上是以牛顿运动定律来求解的,而用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时,常常要解算大量的微分方程组.如果质点组受到约束,则因约束反力都是未知的,所以并不能因此减少而且甚至增加了问题的复杂性.为此,利用分析力学的思路解决这类问题往往相对简单.下面对拉格朗日方程的应用做简单介绍.

1 完整约束

某些约束仅对力学系统的几何形象加以限制,即仅对系统的位形加以限制,而对质点的速度没有限制,这种约束称为几何约束.对于涉及力学系统运动情况的约束,即对速度也有限制的,则称为运动约束.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别,合称为完整约束.

2 保守力系的拉格朗日方程

3 应用步骤

题1.(第30届决赛)质量均为m的小球1和小球2由一质量可忽略、长度为l的刚性轻杆连接,竖直地靠在墙角,如图1所示.假设墙和地面都是光滑的.初始时给2一个微小的向右的初速度.问系统在运动过程中,当杆与竖直墙面之间的夹角为何值时,球1开始离开墙面?

图1

解析: 球1开始离开墙面前两球各自沿直线运动,它们的运动受到一个刚性杆的限制,因此系统只有1个自由度.建立如图2所示的坐标系,取杆与竖直墙面的夹角θ为广义坐标,此时球1的y轴坐标为

y=lcosθ.

(1)

图2

球2的x轴坐标为

x=lsinθ.

(2)

(1)(2)式分别对时间求导得:球1的的速度

(3)

球2的速度

(4)

主动力为两球的……