关于非局部扩散模型的一种快速预处理算法

冉育红，李存吉，殷俊锋

（1. 西北大学数学学院，陕西西安710127；2. 西北大学数学学院，陕西西安710127；3. 同济大学数学学院，上海200092）

对于自然界那些用整数阶扩散方程不太好描述的现象，如反常扩散和多孔介质流等[1−3]，除了可以用分数阶扩散方程建模以外，非局部扩散模型也是一种可供选择的建模方法。非局部扩散理论对间断性问题及其他连续体变形问题给出了一个恰当的描述，而裂缝、断裂等奇异性问题在经典理论方程下无法给出恰当描述。非局部理论被引入到连续介质力学当中，2000 年Silling 提出了一种叫做peridynamic的非局部扩散模型[4−7]，在非局部扩散模型框架下，物体内部不再有接触力，并且可以保证建立的方程都保持同一积分形式，对间断或其他奇异性连续体的变形问题提供了新的研究思路。

然而，利用一般的数值方法数值离散非局部扩散模型，通常得到一个稠密的刚度矩阵，利用直接法求解的计算量和存储量非常大，从而阻碍了其广泛应用。最近Wang C 等提出了一种快速的配置法数值离散变系数非局部扩散模型[8]，分析了刚度矩阵的结构，并利用直接法和共轭梯度平方法求解了变系数非局部扩散模型经过快速配置方法数值离散得到的线性方程组。因为直接法的计算量太大，共轭梯度平方法不稳定，所以这两个方法不实用。

由于变系数非局部扩散模型经过快速配置方法数值离散得到的线性方程组系数矩阵为非对称的，因此可以用间接法中的GMRES 方法[9]求解。……