线性方程组在中学物理中的应用

梁治军 张敏林 姚淑霞

摘 要：线性方程组及其应用是线性代数课程中的核心内容，在数学相关领域中都有广泛应用。本文主要通过典型实例分析阐明了线性方程组在电路及力学问题中的应用，以期为中学物理相关问题的理解和掌握提供新的思路和技巧。

关键词：线性方程组;初中物理;力学;电路

1 绪论

1.1 研究背景

在许多问题中，我们常常以通过建立和求解线性方程组来获得问题的答案，这样可以避免一些复杂烦琐的求解过程，使得对相关问题的分析及刻画更为简洁、明了。线性方程组的应用包括理论与实际两方面。线性方程组在数学理论方面的应用非常广泛，尤其是在解析几何、代数学方面都有重要应用[1]。线性方程组在实际生活中的应用也相当广泛，可以用于计算机科学、物理学、化学、通信等学科和领域。同时，还可以用于理工科的后续课程中，比如电路、理论力学、信号与系统、系统动力学、自动控制原理等课程[23]。

为了能更好地应用线性方程组理论知识解决物理中的相关问题，可以在问题求解过程中有意识地联系相关理论知识及其与已知条件的联系，通过变量的转化，将研究的物理问题转化为数学问题，借助于数学方法达到有效、快捷的解决实际问题的目的[34]。

本文通过举例介绍了行列式在物理学中的应用，揭示了物理语言与数学语言之间的关系以及转换技巧，以便学者能够借助数学知识和技巧解决中学物理中的相关问题。

1.2 线性方程组的定义

其中x1，x2，…，xn代表未知量，aij（i，j=1，2，…n）代表未知量的系数，bi（i=1，2，…，n）代表常数项。

线性方程组（1）的一个解指的是这样一组数（k1，k2，…，kn），用它们依次代替（1）中的未知量x1，x2，…，xn后，（1）的每一个方程都是恒等式。

1.3 克拉姆法则

若n个未知数，n个方程的线性方程组（1）的系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，其解可表示为xi=DiD，其中Di是把系数行列式D的第i列的元素用常数项b1，b2，…bn代替后所得到的n阶行列式。

例1[4]设某质点轨迹为曲线y=a0+a1x+a2x2+a3x3，且轨迹通过已知的四点（1，3），（2，4），（3，3），（4，3），求系数a0，a1，a2，a3。

由克拉默法则得其系数行列式不等于零，由此，上述方程组有唯一解：a0=3，a1=-32，a2=2，a3=-12。

2 线性方程组在物理中的应用

2.1 线性方程组在电路中的应用

例2[5]设各个节点的电流图如图1所示，我们可以由基尔霍夫第一定律（即在电路中，任一节点处各支路电流的代数和在任一瞬时恒为零），把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的。

故可求出各个支路的电流，联立可以得到下列线性方程组：

求解上述线性方程组，可得其解为：

因为i1，i2，i3，i4，i5，i6都是正数，故通解中的3个任意常数应同时满足条件：k1<0，k2>k3>-k1。若取k1=-1，k2=3，k3=2，由此可得：i1=1，i2=2，i3=1，i4=1，i5=3，i6=2。

例3[6]如圖2所示，在直流电路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。

2.2 线性方程组在力学中的应用

例4[6]如图3所示，质量m2的物体放在水平面上，其上有一个质量为m1的物体，若一切阻力不计，求m1相对于m2的加速度a1，m2的加速度a2以及它们受到的支持力N1，N2。

通过求解上述关于a1，a2，N1，N2的线性方程组即可得所求量。

例5[6]如图4所示，圆柱体A上绕着绳子，绳子跨过一定滑轮B与物体C相连。设A，B，C的质量均为m，圆柱体和定滑轮的半径均为R，系统从静止开始运动。求物体C下落h后的速度和加速度（假设圆柱体与接触面间、滑轮与绳子间都无相对运动）。

其中，J=mR2/2为转动惯量，f为圆柱体A受到的摩擦力，β1为滑轮B的角加速度，a=Rβ1为线加速度，β2为圆柱A的角加速度，aC=Rβ2为圆柱A的质心加速度，且有a=aC+Rβ2。

通过求解上述关于β1，β2，T1，T2的线性方程组可得物体C下落h后的速度和加速度。

例6[3]求自旋角动量在（cosα，cosβ，cosγ）方向的投影n=xcosα+ycosβ+zcosγ的本征值。

解由量子力学[7]可知F^（x，hix）Ψ（x，t）=λΨ（x，t），因此，F11-λF12…F1n…

上述齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零，即得F11-λF12…F1n…F21F22-λ…F2n…Fn1Fn2…Fnn-λ…=0。

而n的矩阵元为：

相应的久期方程为：

由此解得λ=±2。

这里的λ即为n的本征值。

参考文献：

[1]李海英.齐次线性方程组的应用研究[J].太原城市职业技术学院学报，2013，000（002）：164165.

[2]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]石会萍.行列式、矩阵在量子力学中的应用[J].沧州师范学院学报，2014（01）：3236.

[4]黄美东，王宇飞，刘士余，等.物理类专业《线性代数》教学方法改进的研究与实践[J].高教学刊，2016（17）：123124.

[5]王民权，应立恒，梅晓妍.电工基础[M].清华大学出版社，2013.

[6]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.

[7]周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者简介：梁治军（1975— ），男，汉族，本科，中学一级教师，主要研究方向：初中物理学。