全长树脂锚杆在拉拔荷载作用下的轴向力分析

王德全，张 超，张开诚，康明超，郭学庭

(1.山东黄金矿业(莱州)有限公司 三山岛金矿，山东 莱州 261442；2.北京科技大学 土木与资源工程学院，北京 100083)

树脂锚杆已逐渐取代管缝式锚杆成为矿山支护的主导形式[1-5]。考虑树脂锚杆在拉拔荷载作用下力的分布情况是进行支护的重要前提[6-7]。针对树脂锚杆的拉拔实验设计，国内外学者均作出了较多的贡献，主要研究方法有理论计算、室内实验、数值模拟三种。

在理论计算研究方面，赵一鸣[8]推导出了与时间有关的杆体拉应力和杆体界面剪应力分布公式，并求解了恒力作用下的树脂锚杆杆体外端点位移的近似公式；李青峰等[9]基于集中载荷作用于半无限体表面和无限体内部的弹性力学解得到了树脂锚杆在非锚固段围岩破碎和完整时的锚固段锚固界面剪应力计算式，分析了锚杆杆体拉力在锚固段锚固界面的剪应力形成机理；尤春安[10]利用Mnidlin问题的位移解导出了全长黏结式锚杆受力的弹性解，讨论了锚杆的受力特征及影响因素。

在室内实验研究方面，肖同强等[11]进行拉拔实验，将锚杆拉拔荷载—端头位移发展分为四个阶段，得到了不同锚固长度下锚杆拉拔荷载与端头位移的关系；林健等[12]设计拉拔实验，对树脂全长锚固锚杆外形与锚杆锚固性能以及安装阻力之间的关系进行了研究，提出了锚杆外形相关参数的合理值。赵同彬等[13]基于全长锚固砂浆锚杆的室内拉拔实验，测试了锚杆杆体与砂浆黏结界面之间的轴向剪应力分布规律。

在数值计算研究方面，崔千里等[14-15]采用FLAC3D对树脂锚杆锚固段杆体、树脂药卷及围岩之间的作用关系及应力、位移分布规律进行模拟研究，分析了锚固段在不同载荷作用下从弹性状态到弹塑性状态的发展变化过程；陈瑶[16]通过在锚杆与树脂锚固剂之间、树脂锚固剂与周围之间设置接触面单元，研究了锚固界面间的相互作用机理。

上述多种计算方法中，均对树脂锚杆在拉拔荷载作用下的受力情况进行了相应的分析，并取得了相应的成果。但具体的理论推导过程还有待完善。本文借助Mindlin位移解，详细推导了树脂锚杆在拉拔荷载作用下围岩剪应力和锚杆轴向力的分布变化规律，将其应用于山东黄金某金矿树脂锚杆的支护设计中，并采用数值模拟对其分布规律进行验证，为矿山支护设计提供参考依据。

1 围岩剪应力分布理论计算

1.1 Mindlin位移解

Mindlin[17-19]于1936年基于半无限空间内部受集中力产生各点的变形问题，提出了Mindlin位移解法。如图1所示，内部作用一竖向集中力F，荷载作用点深度为c，则可得到Mindlin的三维空间位移解式(1)。

图1 Mindlin解计算简图Fig.1 Calculation diagram of Mindlin solution

(1)

式中，E、μ—岩体的弹性模量、泊松比；

1.2 围岩剪应力分布

本文主要考虑全长锚固情况下围岩的剪应力和树脂锚杆的轴向力分布情况。为推导拉拔实验下围岩的剪应力分布规律，作如下假设：岩体为线弹性、均匀各向同性的半无限体；树脂锚杆为线弹性体、无线长度；通过锚杆近端且垂直于锚杆的平面为z=0平面，在该平面锚杆的伸长量与围岩剪应力产生的位移变形相等。

在原点位置，x=y=z=0，则：

(2)

式中，集中力F(z)=πdτ(z)dz，将其代入式(2)得：

(3)

根据材料力学杆件的拉伸变形，可得锚杆自身的伸长量为：

(4)

在孔口位置(z= 0)，锚杆杆体的伸长量与岩体位移相等，则：

(5)

式中，Ea—树脂锚杆的弹性模量；Aa—树脂锚杆的截面积；d—树脂锚杆的直径。

对式(5)进行两次求导，可得：

(6)

(7)

式(7)为一阶齐次微分方程，求解其方程为：

(8)

式中，C为常数，当位于孔口位置时，z=0,τ=0；当位于孔底位置时，z=∞,τ=0。结合F(z)=πdτ(z)dz，可得：

(9)

求得，

(10)

于是，求得围岩的剪应力为：

(11)

(12)

对式(11)中围岩的剪应力进行积分即可得锚杆的轴向力分布函数，为：

(13)

由式(11)可以看出，围岩的剪应力、锚杆的轴向力主要与岩体和锚杆的弹性模量比(Ea/E)、锚杆直径(d)、拉拔荷载(F)有关，增大拉拔荷载(F)、减小锚杆直径(d)或减小弹性模量比(Ea/E)均会增大围岩的剪应力。

1.3 工程实例

以山东黄金集团某金矿为背景，考虑树脂锚杆在拉拔荷载下的轴向力分布情况。该金矿目前已经开采到-308 m水平，围岩主要为灰岩，矿体主要为角砾岩。作为矿山主要的支护手段，主要采用管缝式锚杆进行支护。但随着开采深度的增加，管缝式锚杆所起到的支护效果逐渐减弱。因此矿山引进树脂锚杆，在该水平管缝式锚杆向树脂锚杆过渡，目前已取得较好的支护效果。

取矿山实际的岩体力学参数，具体如表1所示。树脂锚杆的直径为22 mm，其弹性模量为214 GPa，分别取拉拔力为10、20、40、60、80 kN，代入式(11)，可得锚杆在该拉拔荷载作用下围岩的剪应力关系式，计算结果如式(14)所示。

表1 围岩的力学参数

(14)

图2为锚杆在不同拉拔荷载下围岩的剪应力分布曲线。从图2可以看出，围岩剪应力呈负指数分布，在孔口位置围岩的剪应力值等于零，距离孔口47.48 mm处剪应力急剧增大至峰值，之后不断减小并在锚固远端趋于零。围岩剪应力大小与拉拔荷载的大小成正比，随着拉拔力的增大，最大剪应力也在不断增加。

图2 围岩剪应力分布曲线Fig.2 Shear stress distribution curves of surrounding rock

对式(14)围岩剪应力进行积分即可得锚杆的轴向力分布函数，将不同拉拔荷载下锚杆轴向力分布图绘制成曲线如图3所示。可以看出树脂锚杆轴向力分布与围岩剪应力分布相对应，锚杆轴力大小与拉拔荷载大小成正比，随着拉拔荷载的增大而增大。在孔口位置树脂锚杆的轴向力最大，向孔底轴力逐渐减小，最后逐渐趋于零。

图3 锚杆轴向力分布曲线Fig.3 Bolt axial force distribution curves

根据围岩剪应力的分布以及锚杆轴向力的分布可知，孔口近端的锚杆所承受的轴力最大，该处的抗剪强度决定了锚杆的支护所能承受的最大强度。围岩所承受的剪应力与锚杆轴力相对应，在孔口处围岩剪应力最大，该处围岩强度的大小也是锚杆支护强度的一个关键因素。因此为提高锚杆的强度可适当增加锚杆杆体近端的抗剪强度，对孔口处围岩的强度应适当增强。

2 树脂锚杆拉拔实验的数值模拟

2.1 模型的建立

为进一步分析树脂锚杆在拉拔荷载作用下剪应力的分布情况，采用FLAC3D进行树脂锚杆拉拔实验模拟。如图4所示，每个模型的单元都为八节点六面体的实体单元，包括X、Y、Z三个方向的自由度。此次模型计算范围为2 m×2 m×2 m，共划分22 400个网格与25 261个节点。岩体、树脂锚固剂本构模型选用Mohr-Coulomb模型，杆体本构模型选用弹性模型。岩体、树脂锚固剂、锚杆的主要力学参数如表2所示。

图4 树脂锚杆模型剖面图Fig.4 Resin anchor model profile

表2 模型中材料的力学参数

分别取荷载为10、20、40、60、80 kN，分析在不同荷载下锚杆的传递机理，分析围岩的应力分布规律以及塑性区变化情况。

2.2 模拟结果及分析

通过实验可以得到围岩在不同拉拔力条件下的变形情况。取钻孔附近围岩的塑性区分布如图5所示。随着拉拔荷载的增加，岩体的塑性区呈倒锥形逐渐扩大，逐渐向孔深处蔓延。在拉拔荷载小于60 kN时，塑性区呈现为标准倒锥形；当拉拔荷载为80 kN时，塑性区已蔓延至孔底，锚杆的拉拔使周围岩体均处于破坏状态。

图5 不同拉拔荷载下的围岩塑性区分布Fig.5 The plastic zone distribution maps of surrounding rock under different drawing loads

分析在不同拉拔荷载作用下围岩剪应力的应力分布(图6)。当拉拔力较小时，围岩剪应力主要分布在孔口有限的范围内，沿着杆体呈非线性向底部分布，且孔口位置的围岩剪应力最大；随着拉拔力的增大，围岩剪应力作用的范围沿着杆体向孔底扩散，但围岩剪应力的分布趋势并未改变。与塑性区相对应，当拉拔荷载小于80 kN时，剪应力从孔口向孔底扩散，最大剪应力位于孔口位置；当拉拔荷载大于80 kN时，剪应力已覆盖整个孔面，最大剪应力位于孔口处。与围岩剪应力相对应，锚杆的轴力如图7所示，孔口端部锚杆所受轴力最大，逐步向孔底扩散。

图6 不同拉拔荷载下围岩的剪应力分布(单位：MPa)Fig.6 Shear stress distribution maps of surrounding rocks under different drawing loads(Unit：MPa)

图7 不同拉拔荷载下的锚杆轴力分布(单位：MPa)Fig.7 Axial force distribution maps of anchor under different drawing loads(Unit：MPa)

围岩剪应力在锚固段端部时较小，随后急剧增大至峰值后又逐渐减小。围岩剪应力在围岩前端约三分之一的范围内承受的剪应力较大。轴向力与之相对应，如图8所示，在孔口三分之一的部位轴向力迅速减小70%～80%，之后缓慢减小至零。由此可见，围岩主要承载剪应力的区域为锚固段前端，主要分布于锚固段前端，锚杆锚固时的锚固力主要由该区域承担，该部位为锚杆主要受力区，锚杆强度的大小主要取决于锚固段前端锚杆强度。模拟分析结果与1.3节工程实例中的结论相一致。

图8 监测锚杆轴力分布Fig.8 Monitoring bolt axial force distribution

3 结论

1)拉拔实验中，围岩剪应力呈负指数分布。围岩剪应力值在孔口位置为0，距离孔口50 mm范围内剪应力急剧增大至峰值，之后缓慢减小并在孔底位置趋近于0。锚杆轴力分布与剪应力分布相对应，树脂锚杆的轴向力在孔口处最大，在孔口三分之一的部位轴向力减小70%～80%，最后逐渐趋于零。

2)拉拔荷载的增加使岩体的塑性区以标准倒锥形逐渐由孔口向深部蔓延，当拉拔荷载为80 kN，塑性区已蔓延至孔底，锚杆的拉拔使周围岩体均处于破坏状态。

3)拉拔试验的数值模拟与理论分析进行相互验证。并将分析结果应用于某金矿树脂锚杆的支护设计中，该分析得出树脂锚杆支护强度的大小主要取决于锚杆锚固段端部强度的大小，结果为矿山支护设计提供了理论依据。