巧用阿氏圆 妙解一类题

摘 要：本文给出了阿波罗尼斯圆（以下简称阿氏圆）的一个几何性质，并通过列举其在解三角形、平面向量和解析几何等有关问题中与常规解法的不同，让大家感受到这一几何性质在解题中的妙用.

关键词：阿氏圆;反演点;妙解;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0015-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：魏东升，男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

有时我们会有这样的感慨，有些我们一直以为很熟悉的事物，随着对其了解的深入，却发现它们已经越来越陌生了.比如从小到大陪伴着我们成长的圆，可谓是我们接触的最多的图形之一了.但随着学习的深入，当其以阿氏圆、蒙日圆等隐形圆的身份出现在试题中时，不少人却陌生了.本文通过运用阿氏圆的一个几何性质解题的几个视角，让大家感受到阿氏圆解题的美妙.

定理 如图1，已知点M是以PQ为直径的圆D上的任意一点，则直线PQ上两点A，B满足ADCD=CDBD=λ（λ≠1）的充要条件为：圆D是以A，B为两定点，CACB为定值λ（λ≠1）的阿波罗尼斯圆.

证明 先证明必要性，因为ADCD=CDBD=λ（λ≠1），所以△ACD～△BCD，所以CACB=λ，从而根据定义可知圆D是阿波罗尼斯圆.

再证明充分性，因为CACB=PAPB=AD-PDPD-BD=AD-CDCD-BD=λ（λ≠1），①

同理可得AD+CDCD+BD=λ，②

由①②式可得CD2=AD·BD，结合②式可得ADCD=CDBD=λ（λ≠1）.

以下例举该结论妙解相关问题的三个视角：

例1 （2019年全国Ⅱ卷理科第15题改编）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=2，a=2c ，则S△ABC的最大值为.

通解 在△ABC中，由余弦定理，得22=（2c）2+c2-2·c·2ccosB，所以cosB=5c2-44c2，从而S△ABC=12·c·2csinB=c21-cos2B=c21-（5c2-44c2）2=14-9c4+40c2-16≤43，当且仅当c=253时等号成立，所以S△ABC的最大值为43.

妙解 因为b=2，a=2c ，可知点B的轨迹是一个阿波罗尼斯圆. 假设该圆的圆心为D，根据结论可知CDBD=BDAD=2=AC+ADBD，解得BD=43，即圆D的半径为43.假设AC边上的高为？……