圆锥曲线中的特殊韦达定理问题探究

摘 要：在解析几何或者二次函数中，遇到的绝大多数韦达定理问题，都可以将条件转为s（x1+x2）+tx1x2+u的形式，即可以整理出的式子中x1，x2或y1，y2前的系数相同的情况，一般直接使用韦达定理即可化简.但是，也会出现一些x1，x2或y1，y2前的系数并不相同，也就是出现并非对称现象，这种情况就要对式子进行一些处理之后才能继续.本文通过对x1=λx2，sx1+tx2+u=0，sx1+tx2+ux1x2+v=0，sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式的研究，总结出了解决相应问题的应对措施.

关键词：圆锥曲线;二次方程;韦达定理;非对称

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0042-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：卢会玉（1981.7-），女，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

每个高中的教师和学生都知道利用韦达定理解题时遇见的量通常为有关x1，x2或y1，y2的对称量，比如x1+x2，x1x2，x21+x22，x1x2+x2x1，y1x1-2+y2x2-2等，是可以将条件转为s（x1+x2）+tx1x2+u的形式，即可以直接使用韦达定理化简的问题.但是，很显然并不适用所有情况.在圆锥曲线中，若x1，x2或y1，y2前的系数并不相同，也就是出现非韦达对称现象，这种情况就要对式子进行一些处理之后才能继续.通常表现为x1=λx2，sx1+tx2+u=0，sx1+tx2+ux1x2+v=0，sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1等形式.笔者通过研究，总结整理了几种常见非对称类型问题的应对策略.

一、出现x1=λx2问题

解决方法 利用λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2转化为s（x1+x2）+tx1x2+u形式，直接利用韦达定理解题.

1.椭圆中的x1=λx2问题

例1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点， MA=λMB，且当直线l垂直于x轴时，AB=2.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若λ∈12，2，求弦长AB的取值范围.

解 （1）x22+y2=1，证明略.

（2）当直线l的斜率为0时，容易求得λ=3+22，但3+2212，2，故不合题意.

则可设直线l的方程为x=my+1，由x22+y2=1x=my+1可得（m2+2）y2+2my-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2.

由于点M（1，0）在椭圆内部，则有AM=λMB，即（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），所以y1=-λy2.则-λ+1-λ+2=（y1+y2）2y1y2=-4m2m2+2，即4m2m2+2=λ+1λ-2，

因为λ∈12，2，所以4m2m2+2∈0，12，

即4（m2+2）-8m2+2=4-8m2+2∈0，12，所以1m2+2∈716，12.

又AB=1+m2×（y1+y2）2-4y1y2=22（m2+1）m2+2=22×（m2+2）-1m2+2=22×（1-1m2+2），

所以AB∈2，928.

2.双曲线中的x1=λx2问题

例2 已知双曲线C：x2-y23=1，直线y=-2x+m与双曲线C的右支交于A，B两点（A在B的上方），且与y轴交于点M，则MBMA的取值范围为.

解 由x2-y23=1y=-2x+m可得x2-4mx+m2+3=0，Δ=16m2-4（m2+3）>0，即m2>1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4m，x1x2=m2+3.

令MBMA=λ，则x2x1=λ>1，

则λ+1λ+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2=16m2m2+3=16×（m2+3）-3m2+3=16×（1-3m2+3），因为m2>1，所以16×（1-3m2+3）∈（4，16），则λ+1λ+2∈（4，16），解得λ∈（7-43，7+43），又因为λ>1，所以λ∈（1，7+43）.

3.函数中的x1=λx2问题

例3 函数f（x）=13ax3-ax2+x+1在x1，x2处有极值，且1

解 f ′（x）=ax2-2ax+1，令f ′（x）=ax2-2ax+1=0，则x1+x2=2，x1x2=1a.

令x2x1=t，則t+1t+2=x1x2+x2x1+2=（x1+x2）2x1x2=4a，因为4a=t+1t+2，且1

二、出现sx1+tx2+u=0问题

解决方法 通过对sx1+tx2+u=0的变形，进而转化为s（x1+x2）+tx1x2+u形式，直接利用韦达定理解题.

步骤一：将sx1+tx2+u=0变形为（t-s）x1=t（x1+x2）+u（s-t）x2=s（x1+x2）+u，

步骤二：将两式对应相乘得：-（t-s）2x1x2=t（x1+x2）+u×s（x1+x2）+u，从而直接利用韦达定理解题.

例4 已知椭圆C：x28+y24=1，过点M（1，0）作斜率为k（k>0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方），直线l与y轴的交点为P，若AP=25MB，求直线l的方程.

解 由題可设直线l的方程为y=k（x-1），则P（0，-k），由x28+y24=1y=k（x-1）可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-82k2+1.

由AP=25MB，得（-x1，-k-y1）=25（x2-1，y2），所以-x1=25（x2-1），即5x1+2x2=2，则3x2=5（x1+x2）-2-3x1=2（x1+x2）-2，两式相乘得：-9x1x2=5（x1+x2）-2×2（x1+x2）-2，

代入x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-82k2+1得k=2.

三、出现sx1+tx2+ux1x2+vs1x1+t1x2+u1x1x2+v1问题.

例5 已知椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，过（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，且直线A1P与A2Q交于点S，试问：点S是否恒在一条定直线上？若是，求出该直线，并证明你的结论;若不是，请说明理由.

解 由题可设直线l的方程为x=my+1，

由x24+y2=1x=my+1可得（m2+4）y2+2my-3=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4.

因为A1（-2，0），A2（2，0），则直线A1P的方程为：y=y1x1+2（x+2），①

直线A2Q的方程为：y=y2x2-2（x-2），②

联立①②可得：x+2x-2=y2（x1+2）y1（x2-2）=y2（my1+3）y1（my2-1）=my1y2+3y2my1y2-y1，③

由y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4得y1y2=32m（y1+y2），④

将④代入③中可得x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=32（y1+y2）+3y232（y1+y2）-y1=3y1+9y2y1+3y2=3，则x=4，即直线A1P与A2Q交于点S的横坐标为4，横在直线x=4上.

另解 也可用配凑的方法将变量集中起来，进而解决问题. x+2x-2=my1y2+3y2my1y2-y1=my1y2+3（y1+y2）-3y1my1y2-y1=m×（-3m2+4）-6mm2+4-3y1m×（-3m2+4）-y1=9mm2+4+3y13mm2+4+y1=3.

解析几何考查学生数学核心素养中的数学抽象、直观想象、数学运算等，当遇到非韦达对称问题时，更是需要很强的数学抽象和数学运算能力.若是注重平时的积累与思考，类似于非韦达对称性的问题也可顺利解决.

参考文献：

[1]许雪荣，黄贤锋.一类非对称圆锥曲线问题的解法探究[J].中学数学教学，2020（02）：52-53.

[2]林国红.圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法[J]

.高中数学教与学，2018（19）：12-14.

[责任编辑：李 璟]