一类多维跳过程的最小熵鞅测度

李佳佳，沈兆晖

(武汉大学 数学与统计学院，湖北 武汉 430000)

0 引言

在金融市场中，我们经常用跳扩散过程对资产价格进行建模。风险中性测度则是资产定价时的一种常见概念和手段。由于在不完全市场中风险中性测度并不唯一，故我们经常考虑用某种准则选出合适的风险中性测度，比如：相对熵、逆相对熵、全变差距离、Hellinger 距离、最小鞅测度等。其中，相对熵是比较常见的一种准则。更确切的说，给定概率空间(Ω,F,P)，我们的目的是寻找鞅测度Q，并使其关于概率测度P的相对熵达到最小值。我们称鞅测度Q为最小熵鞅测度。

许多文献中有关于最小熵鞅测度的研究：参考Miyahara[1]，Mania 和Santacroce[2].特别的，指数Lévy过程的最小熵鞅测度在以下文献中得到讨论：Hubalek和Sgarra[3]，Miyahara[4]，Jeanblanc, Klöppel和Miya- hara[5].运用指数鞅方法研究一般跳扩散过程的最小熵鞅测度的文献比较少见，因此本文试图在这方面进一步研究。

在本文中我们应用相对熵准则，给出了多维跳过程S∶={(S1(t),S2(t),…,Sm(t),0≤t≤T}的最小熵鞅测度，其中Si(t)表示为：

1 一类多维跳过程的最小熵鞅测度

给定概率空间(Ω,F,P)，设S∶={(S1(t),S2(t),…,Sm(t),0≤t≤T}是定义在(Ω,F,P)上的m维价格过程，Si(t)表示为

(1)

其中σij为m×d1维矩阵，bi(t)(1≤i≤m)可微并bi(0)=0,B(t)=(B1(t),B2(t)，…,Bd1(t)),0≤t≤T为d1维布朗运动。fik(t,z),gik(t,z)为m×d2维函数矩阵并满足其元素关于t可料。

(2)

(3)

其中令G为F的子σ代数，则P(Ω,G)表示为G上的所有概率测度。

下面，我们引入相对熵的概念。令G为F的子σ代数，对于任意Q∈P(Ω,G)，可定义

(5)

在文中，我们的主要目的是给出在ALMM(P)上该价格过程S的最小熵鞅测度。首先，我们定义概率测度P*：

(6)

其中EP(·)表示关于P的期望，对于1≤i≤m，

(8)

(9)

(10)

如此定义的P*称为Ri(t)关于P的Esscher变换[8].以下定理1为本文的主要结论，说明了Esscher变换P*即为价格过程S的最小熵鞅测度。……