也谈等差数列的前n项和的最值问题

北京师范大学出版集团 岳昌庆 100875

高一学习等差数列时，其前n项和Sn的最值问题，可以从二次函数等角度来理解.作为一个高三学生，又多了求导这一有力的工具，方法会更多.当然要结合n∈N*.

例1［2019年高考北京市卷理科第10题］设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝______，Sn的最小值为______.

法2：令an＝n－5＝0得n＝5.又a1=-4＜0，d＝1＞0，所以当n＝4或5时，Sn取最小值为－10.

评注：（1）解法1将Sn看成关于n的二次函数，用二次函数的最值相关知识，再结合自变量n∈N*，从而求得Sn的最小值；需要在S4，S5的比较中找到最小值（此题恰好S4=S5）；本题如果求Sn为最小值时的项数n，还是一个两解的题目呢.（2）解法2抓住“a1＜0，d＞0”这一“起始值为负的递增等差数列”的特性，找到an中正负值的“分界线”（该项值为零更好），从而得Sn的最小值.解法2为我们提供了一种找到Sn最值的快速解法，见本文例3.从这个角度看，本题的第1空是为第2空做铺垫的.（3）本题还可由a5＝0，直接得出S4或S5为Sn的最小值.因为一个首项为负的等差数列，其公差d＞0，在增长的过程中，一定有某一项为接近零的负值，下一项为接近零的正值，甚至会有某一项直接为零.这就可以理解为什么“a1＜0，d＞0”Sn就有最小值了.（4）解法3直接对Sn（将Sn看成关于n的二次函数）求导数，通过讨论Sn的单调性，结合n∈N*，从而求得Sn的最小值.（5）以下各例均仅给出一种解法，其他解法限于篇幅，请读者自己补齐.（6）等差数列，若“a1＜0，d＜0”，则Sn也存在最大值（即a1），结论平凡，本文不予研究.

评注：（1）本质上，例2与例1是互逆的.（2）本题第（2）问用错位相消法求和，不是本文重点，故过程略去.

例3［2014年高考北京市卷理……