另类角度看数列中的“裂项”

中山市桂山中学(528463) 蔡晓波 余铁青 唐军伟

裂项是高中数列求和中常见且常考的题型之一,该类问题具有一定巧妙性,很好的体现数学美,很好的考察了学生的数学逻辑推理能力.在常规的教学中,大部分学生往往仅仅掌握一些常见的裂项的形式,并未清楚其背后的数学模型与潜在本质.因此,当题目稍有变化,学生就可能不知所措.据此,笔者尝试从更多角度来剖析裂项,力求揭示裂项的数学本质,并以此得出更多的非常规的裂项形式.

一、常见的裂项形式

高中阶段,学生常见的裂项形式有(以下约定n ∈N+):

4.公式型:也就是运用某个公式可以化为2 项相减的形式,比如:,tan(α −β)(1+tanαtanβ)=tanα −tanβ,……

对于第四种类型,实际上就是公式的变形而已.故而笔者主要针对类型1-3 进行了探究.

二、分子分母关系角度

例1(2020年中山市桂山中学周末练习)已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn,S1= 1,S2,S3−1,S4成等比数列.

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 已知bn=,求数列{bn}的前2n项和T2n.

解(1)过程略,可得an=2n −1.(2)

评注此题关键在于观察出分母两个因式2n+1、2n+3与分子4n+4 的线性关系,则问题可迎刃而解.

例2(2020年江西省奉新县第一中学月考(文)节选)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=a2n+an −2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=(n ∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn;

分析第一问容易求得an=n+ 1,故bn=题目学生容易产生“裂项”感觉,因此必须找出n,n+1 与n −1 直线的线性关系,不难发现n −1=2n −(n+1),故bn=,那么问题迎刃而解.

解略.

结合等差数列,基于分子是分母因式a与b的线性组合的思想,那么我们对例2 进行推广可得出:若数列{an}为等差数列,m,n为常数且mn>0,q=则

显然,当an=n,m=−1,n=−2 时即为例2.

如果把模型与三角函数相结合,运用和差化积公式,我们可得如下的裂项形式:

为此我们可编得如下题目供学生练习:

例3已知数列{an}的通项an=,求数列{an}的前n项和Sn

解由

故

故

三、幂的角度

例4证明:12+22+32+···+n2=

分析这是人教A 版数学选修2-2 的一道经典例题,该题课本采用数学归纳法来证明,该题的证明方法很多,但如果利用“高次”相减可以得“低次”的思想,那么通过尝试不难得到:故相加可得:

解略.

那么类似的,在得出1k−1+2k−1+3k−1+···+nk−1的求和公式的情况下,对于1k+2k+3k+···+nk的求和公式均可利用类似的思想求得.

四、因式分解角度

对于这个公式,我们仅需对a,b代入特殊的形式就可以得到不同的无理型的裂项形式.令(n ∈N+,n0为正整数)可得:

显然,当k=2 时,即为常见的无理型:

五、斜率角度,统一归一

在上文第三节中,我们利用了“高次”相减可以得“低次”的思想,那么我们很自然可以想到导数也可以把次数降低,而数列是离散的,那么对应的就应该是类似于“差分”的形式,其几何意义应该对应了斜率,为方便理解,我们对第一节中常见的裂项形式(1)-(3)赋予特殊值可得到裂项与导数及其几何意义之间的对应关系:

(一) 对于第一节中的等差数列型,我们令an=n,k= 1 可得常见的裂项形式:

设f(x) =可得等式左边显然几何意义为:两点(n,f(n)),(n+1,f(n+1))连线的斜率;而通过对f(x)求导可得:f′(x) =

(二)对于第一节中的无理型,我们令n0=1 可得常见的形式

设f(x) =可得等式左边,显然几何意义为:两点(n,f(n)),(n+1,f(n+1))连线的斜率;而通过对f(x)求导可得:f′(x) =

(三) 对于第一节中的指数型,我们令k= 1 可得常见的形式:即

设f(x)=可得等式左边显然几何意义为:两点(n,f(n)),(n+1,f(n+1))连线的斜率;而通过对f(x)求导可得:f′(x) =

裂项在题目中一般是为了求和,从而相消; 如果画出上述函数的图形,我们可得裂项求和的几何意义为:

一个连续函数上有n+1 个点A0,A1,A2,··· ,An,Ai坐标为:Ai(xi,yi)(0 ≤i≤n,i ∈N),且满足xi+1−xi为大于零的定值,设AiAi+1的斜率为ki+1则有:(n −1)kAnA0,(kAnA0为A0An的斜率).

证明不妨设xi+1−xi= ∆x,则AiAi+1的斜率,故

得证.

由此我们可以充分感受到裂项数学的美与它的巧妙.