静电场中的图像问题分类例析

唐世琦

[摘   要]鉴于近两年各地加强了对静电场中图像问题的考查力度，文章选取近两年各地模拟考试题，分析[E-x]图像面积的意义、[φ-x]图像斜率的意义、[EP-x]图像斜率的意义，并归纳总结这三种图像的处理方法与技巧，最后利用[v-x]图像简单剖析了除上述三种图像外的其他图像处理相关静电问题的方法。

[关键词]静电场;[E-x]图像;[φ-x]图像;[EP-x]图像

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）02-0035-04

静电场中的图像问题主要包括电场强度[E]随位置[x]的变化关系（即[E-x]图像）、电势[φ]随位置[x]的变化关系（即[φ-x]图像）以及电势能[EP]随位置[x]的变化关系（即[EP-x]图像）。全国各地在2020年的诊断考试题中加强了对这些图像问题的考查，笔者收集整理了相关题目，并结合例题的解答总结解决此类问题的方法与技巧，以便日后参考。

一、[E-x]图像

在研究某一方向上电场强度[E]的分布情况时，通常作出电场强度[E]随距离[x]的变化关系图像（简称[E-x]图像）以便研究相关问题，例如图1是两个等量同种点电荷连线上电场强度[E]随距离[x]（与左边电荷的距离）的变化关系图像，其中[x0]为两个等量同种电荷连线的中点。

下面通过具体的例题对[E-x]图像的物理意义做进一步分析，同时总结处理[E-x]图像问题的方法。

[例1]（2019届安徽蚌埠二模，多选）电场中有一条电场线与[x]轴重合，[x]轴上各点的电场强度[E]与位置[x]的关系如图2所示。一质子只在电场力作用下自坐标原点由静止释放后沿[x]轴正方向运动。已知[Oa=ab=bc=d]，[b]点电势[φb=0]。则下列结论正确的是（）。

A.质子沿[x]轴做匀速直线运动

B.质子在[a]、[c]两点的电势能相等

C.质子在[a]、[b]、[c]三点的动能之比为2∶3∶4

D.坐标原点[O]的电势为[1.5E0d]

分析：质子在电场中仅受电场力作用，故质子受力不平衡，所以质子不能做匀速直线运动，故A选项错误。面對[E-x]图像问题，可先作出如图3所示的电场线分布图。由于电势沿电场线方向降低，质子在[a]、[c]两点的电势[φa>φc];由[EP=qφ] 有[EPa>EPc]，故B选项错误。

从图2可知[Oa]段为匀强电场，故[UOa=E0d]，即图像与横轴包围的面积即为两点的电势差。 据此可知[Uab=φa-φb=12E0d>0]，即[φa>φb];同理，[Ubc=12E0d]，即[φb>φc]， 所以[φa>φc]。由[EP=qφ] 有[EPa>EPc]，也可以判断B选项错误。 对[Oa]段由动能定理有[qUoa=Eka-0]，解得[Eka=qE0d];对[ab]段由动能定理有[qUab=Ekb-Eka]，解得[Ekb=32qE0d];对[bc]段由动能定理有[qUbc=Ekc-Ekb]，解得[Ekc=2qE0d];[Eka∶Ekb∶Ekc=2∶3∶4]，故C选项正确。[UOb=UOa+Uab=32E0d]，所以[φO=32E0d]，故选项D正确。

评注：从例1的分析可以得出[E-x]图像中面积的意义：当电场强度[E]的方向为[x]轴正方向时，图像与横轴所围成的面积即为两点间的电势差，反之，当电场强度[E]的方向为[x]轴负方向时，图像与横轴所围成的面积即为两点间的电势差的相反数。

[例2]（2019届广东深圳4月第二次调研）真空中，在[x]轴上[x=0]处和[x=8 cm]处分别固定两个点电荷，带电荷量分别为[Q1]和[Q2]。两电荷间连线上的电场强度[E]随[x]变化的图像如图4所示（[x]轴正方向为场强正方向），其中[x=6 cm]处[E=0]。将一个正试探电荷在[x=2 cm]处由静止释放（重力不计，取无穷远处电势为零）。则（）。

A.两点电荷均为负电荷

B.[Q1]、[Q2]之比为9∶1

C.在[x=6 cm]处电势为[0]

D.该试探电荷沿[x]轴从[x=0]处运动到[x=8 cm]处，电势能一直减小

分析：因为在[x]轴上的[x=0]处和[x=8 cm]处分别固定两个点电荷，因此可将其与两个等量同种电荷或等量异种电荷的电场强度与电势分布特点进行对比判断。

因为异种电荷连线上电场强度不能为零，因此这两个电荷为同种电荷。若为等量同种电荷，则在[x=4 cm]处电场强度为零，由图像可知[x=4 cm]处[E>0]所以[Q1]为正电荷，因此两电荷均为正电荷，故A选项错误。根据[x=6 cm]处[E=0]可知，[kQ1x2=kQ2（L-x）2]，解得[Q1Q2=91]，故B选项正确。两正点电荷连线上电势不能为零，故C选项错误。根据[E-x]图像中面积的意义可知，[U06=φ0-φ6>0]，即[φ0>φ6];同理，[U68=φ6-φ8<0]，即[φ6<φ8]，所以[φ6]最小。根据[EP=qφ]可知，[EP6]最小。因此该试探电荷沿[x]轴从[x=0]处运动到[x=8 cm]处，电势能先减小后增加，故D选项错误。

评注：从例2的分析解答可知，解决两个电荷的[E-x]图像问题可与两个等量同种电荷或等量异种电荷的电场强度与电势分布进行对比判断。

综上所述，笔者从例1、例2的分析，归纳出解决[E-x]图像问题的方法，供读者参考。

1.根据题意重新画出电场线的分布图;

2.利用[E-x]图像中面积的意义分析电势差，进而分析其他物理量;

3.与两个等量同种电荷或等量异种电荷的电场强度与电势分布进行对比判断。

二、[φ-x]图像

两个等量异种点电荷连线上电场强度由正电荷指向负电荷，电势沿电场线降低;在中垂面上，电势均为零。将电势[φ]随位置[x]的变化关系绘出的图像叫作[φ-x]图像，其图像的性质与物理意义及其处理方法将通过下面的例题进行阐述。

[例3]（2017级成都七中一诊模拟）有一静电场，其电势随[x]坐标的改变而改变，变化的图像如图5所示。若将一带负电的粒子（不计重力）从坐标原点[O]由静止释放，粒子沿[x]轴运动，电场中[P]、[Q]两点的坐标分别为[1 mm]、[4 mm]。则下列说法正确的是（）。

A.粒子经过[P]点和[Q]点时，加速度大小相等、方向相反

B.粒子经过[P]点和[Q]点时，动能相等

C.粒子经过[P]点和[Q]点时，电场力做功的功率相等

D.粒子在[P]点的电势能为正值

分析：在[0～2 mm]段，电势随距离均匀增加，因此此段电场为匀强电场，所以电场强度[E02=U02d02=φ0-φ2d02=-2×104 V/m];同理，在[2～6 mm]段，[E26=U26d26=φ2-φ6d26=1×104 V/m]。由此可知，在[φ-x]图像中斜率表示电场强度的相反数。 根据牛顿第二定律有[qE=ma]，因[E02]与[E26]的大小不等，故两段的加速度大小不等，方向相反，故A选项错误。由图5可知，[φP=φQ=20 V]，根据[EP=qφ]，则有[EPP=EPQ<0]，故D选项错误。再根据能量守恒可知，粒子经过[P]点和[Q]点时，动能相等，故B选项正确。根据[F=qE]可知，带负电的粒子在两段所受的电场力大小不等，根据B选项可知，带负电的粒子经过[P]点和[Q]点时，速度相同。 根据功率[P=Fv]可知，粒子经过[P]点和[Q]点时，电场力做功的功率不相等，故C选项错误。

评注：从例3的分析可以归纳出处理[φ-x]图像问题的方法：

1.根据[φ-x]图像中的斜率判断电场强度;

2.电势能高低的判断可采用两种方法：第一，根据[EP=qφ]直接进行判断;第二，根据电场力做功进行判断;

3.结合牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律等其他规律综合分析。

[例4]（2019届河北示范高中4月联考，多选）已知[x]轴上电场方向与[x]轴方向平行，[x]轴上各点电势[φ]随[x]的变化关系如图6所示，[x=0]处电势最大为[5 V]，一电子从[x=-2 cm]处由静止释放，则下列说法正确的是（）。

A. [x=0]处电场强度为[0]

B.电子在[x=-2 cm]处的加速度小于在[x=-1 cm]处的加速度

C.该电子运动到[x=0]处时的动能为[3 eV]

D.该电子不可能运动到[x=2 cm]处

分析：根据[φ-x]图像中斜率的意义可知在[x=0]处电场强度为[0]，故A选项正确。在[x]轴的负半轴，电场强度逐渐减小，根据牛顿第二定律有[qE=ma]可知，加速度逐渐减小，故B选项错误。电子在[x=-2 cm]处由静止释放，其总能量即为此时的电势能[EP（-2）=-2 eV]，根据能量守恒有[EP（-2）=EP0+Ek0]，解得[Ek0=3 eV]，故C选项正确。假设该电子能运动到[x=2 cm]处，则根据能量守恒有[EP（-2）=EP2+Ek2]，解得[Ek2=1 eV]，假设成立，故D选项错误。

三、[EP-x]图像

电场力做正功，电势能降低;电场力做负功，电势能增加。当电荷在不同电势间（存在电势差）运动时必然伴随电势能的转化。根据电势能[EP]随位置[x]的变化关系绘成的图像叫作[EP-x]图像。在[EP-x]图像中，若[EP]发生变化，则必然伴随着其他形式的能量发生变化，比如动能的变化。因此，[EP-x]图像相对复杂，需仔细分析。下面通过具体的例题总结[EP-x]图像的物理意义及其处理方法。

[例5]（2019年北京朝阳区期末）静电场方向平行于[x]轴，将一电荷量为[-q]的带电粒子在[x=d]处由静止释放，粒子只在电场力作用下沿[x]轴运动，其电势能[EP]随[x]的变化关系如图7所示。若规定[x]轴正方向为电场强度[E]、加速度[a]的正方向，图8中四幅示意图分别表示电势[φ]随[x]的分布、場强[E]随[x]的分布、粒子的加速度[a]随[x]的变化关系和粒子的动能[Ek]随[x]的变化关系，其中正确的是（）。

分析：根据[EP=qφ]可将[EP-x]图像转化为[φ-x]图像，如图9（a）所示，故A选项错误。根据[φ-x]图像中斜率表示电场强度的相反数，可转换为[E-x]图像如图9（b）所示，故B选项错误。根据牛顿第二定律[qE=ma]可将[EP-x]图像转化为[a-x]图像如图9（c）所示，故C选项错误。根据能量守恒定律可将[EP-x]图像转化为[Ek-x]图像如图9（d）所示，故D选项正确。

从以上分析可知，在[x<0]区域为匀强电场，沿[x]轴正方向电场力做功[W=-q（-E）d=qEd>0]，电势能的变化量[ΔEP=-W<0]，所以[EP-x]图像中斜率[k=-ΔEPd=qE=-F]。由此可知，在[EP-x]图像中斜率表示电场力的相反数。

评注：从例5的分析可以得出[EP-x]图像中斜率的意义：在[EP-x]图像中斜率表示电场力的相反数。可以归纳出处理[EP-x]图像问题的方法。

1.根据[EP-x]图像中的斜率判断电场力;

2.通过[EP=qφ]将[EP-x]图像转化为[φ-x]图像，再将[φ-x]图像转化为[E-x]图像，再转化成其他所需的图像;

3.结合牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律等其他规律综合分析。

[例6]（2019年北京海淀区模拟）两个点电荷[Q1]和[Q2]固定在[x]轴正半轴上，其中[Q2]所在位置为坐标原点。将一电子放在[x]轴正半轴上，该电子的电势能[Ep]随位置[x]变化的曲线如图10所示。其中[x=x0]是电势能为零的点的横坐标，[x=x1]是电势能为极值的点的横坐标。由图像可知（）。

A.[Q2]一定带负电

B.两个点电荷可能为同种电荷

C.两个点电荷在[x0]处的合场强为零

D.[Q1]带电荷量的绝对值小于[Q2]带电荷量的绝对值

分析：根据[EP-x]图像中斜率的意义可知，在[x1]处电场力为零，根据[F=qE]可知，此处电场强度为零;同理，在[x0]处电场力不为零，电场强度亦不为零，故C选项错误。根据[EP=qφ]可知， 在[x0]处电势[φ=0]，因同种电荷连线上电势不能为零，故B选项错误。根据[EP-x]图像中斜率的意义可知，在[x0]处电场力向右，因此[Q2]为负电荷，故A选项正确。为使[x1]处电场强度为零，则[Q1]应在[Ox1]之间，因[Q1]靠近[x1]且[Q1

四、其他图像

上文讨论[EP-x]图像时提到，电势能的变化必然伴随着其他形式能量的变化，因此在静电场图像问题的考查中，也可结合其他图像进行同步考查，例如例7中通过[v-x]图像推出其物理量的变化关系。

[例7]（2019年辽宁辽阳二模）电荷量为[Q1]、[Q2]的两个点电荷[A]、[B]分别固定在[x]轴上的原点[O]处和[x=5d]处，一正点电荷[C]（不计重力）从[x=d]处以初速度[v0]沿[x]轴正方向运动，其速率[v]与在[x]轴上的位置关系如图11所示，则下列判断正确的是（）。

A.点电荷[A]带负电荷、[B]带正电荷

B.点电荷[A]、[B]所带电荷量的绝对值之比为2∶3

C.點电荷[C]从[x=d]处到[x=4d]处的过程中，在[x=2d]处的电势能最小

D.点电荷[C]从[x=d]处到[x=4d]处的过程中，电势先增大后减小

分析：点电荷[C]从[x=d]处到[x=2d]处速度减小，动能减小，电场力做负功，故[d-2d]段电场力向左，电场方向向左;点电荷[C]从[x=2d]处到[x=4d]处速度增加，动能增加，电场力做正功，故[2d～4d]段电场力向右，电场方向向右。所以在[x=2d]处电场强度为零，即[A]、[B]为同种电荷，故A选项错误。因在[x=2d]处电场强度为零，即有[kQ1（2d）2=kQ2（3d）2]，所以[Q1Q2=49]，故B选项错误。在[x=2d]处动能最小，根据能量守恒定律可知电势能最大，故C选项错误。同理，电势能先增大后减小，故D选项正确。

评注：从以上分析可以看出，掌握[E-x]图像、[φ-x]图像、[EP-x]图像等三种图像的物理意义以及处理方法，学会图像之间的转换（如例5），甚至会进行逆向推导图像（如例7），无论何种非常见图像问题都能迎刃而解。

以上即为笔者总结的处理静电场中图像问题的拙见，不足之处恳请斧正。

（责任编辑 易志毅）