用现象牵引数学概念，促进学生应用思维发展

张振浩

【摘 要】对高一的同学而言，物体的形状，大小可以由看到的实物产生联想，在课题《空间几何体的表面积》中，本文就如何引导学生认识表面积，计算表面积以及如何在学习中发展学生应用意识的思维进行研究和再认识。

【关键词】现象教学;数学概念;应用思维

在一次工作室的教学演示活动学习中，笔者与两位老师同课题“空间几何体的表面积”开课学习。在两位老师的课堂教学中，笔者体会到老师的智慧，学生的反馈，以及对该课题教学的点滴思考。下面，笔者就该课题如何展开，以及如何激发学生应用意识，获得对物体的感官直觉认识进行讨论。

一、以学生的思维做向导引入表面积的概念

首先，对于空间体的引入，两位老师这样介绍：

第一位老师这样引导学生：

教师A：同学们，我们校园里有很多美丽的风景和难忘的建筑值得大家回忆。这里的电话亭，平时宿舍区域使用的供热设备等。不知道同学发现没有，它们看上去都是那么地和谐、合理，这些物体在我们印象中是叫做什么样的几何体啊？（由前面的学习，同学们比较容易想到圆柱，棱柱）

学生：是长方体，圆柱体。

教师A：下面就让我们来回忆下柱体、锥体的概念。

第二位老师这样引导学生：

教师B：同学们，请回忆你所学过的棱柱的形状，将手中的长方形白纸折叠后，摆在桌面上，使之构成棱柱（三棱柱、四棱柱等）的侧面，并进行观察。请谈一谈你的发现。

学生：有六面体，三棱柱，六棱柱。

教师B：还有没有什么特征？（通过教师引导，学生进行辨析）

学生：是直棱柱，正三棱柱，正六棱柱。

教师B：好的，下面让我们一起来认识以下这些特殊棱柱，它们还有哪些有趣的地方。

两位老师能很好地引导学生观察事物（不论是实体还是图片），从观察中感受特殊几何体的特性，这为教学能顺利进行提供保障。如果让学生从平时的认识中自然产生本节课表面积的话题，是否可以呢？

概念是对表象的记忆，相关的表象在人们的活动中反复出现，这产生了两个结果。第一是强化对它的记忆，随时可以再认或再现;第二是人们对它的“反复出现”本身也形成了记忆，也就是对它的再现有了预期。在提出立体几何的表面积时，学生对表面积已经有了相关的概念，我们可以做的，是对该概念在数学教学中的再现和组合。笔者做了这样的一个教学设计：

教师C：同学们，表面积是什么，大家知道吗？

学生：知道。

教师C： 什么是表面积，相信在每位同学的心里已经有了一个答案，不同的形状表面积可能相同，因此，本节课，同学们来看下面积、表面积是怎么定义的，面积是指物体所占的平面图形的大小，表面积是指所有立体图形外面的面积。大家的身边都有不同形状的物体，表面随处可见。

学生：是的，老师。

教师C：本节课，我们来找找那些几何体的表面。

学生：老师，表面积很好找的！

教师C：你可以举一些例子，让同学们试试吗？

学生：你看，铅笔、茶杯是物体，不都是有表面积的嘛！

（有学生应和道：老师，他这个人也是有表面积的）

教师C：好的，那我们来看看你的茶杯，如何计算出他的表面积？

学生：不就是个圆柱嘛，两个底面加侧面就是了。

教师C：好的，这位同学已经把该物体从形状上判断为圆柱，那如何求出圆柱的表面积呢？

同学们发现没有，我们这位同学已经把圆柱分成了三个部分，你们知道是哪些吗？

学生：上下底面，侧面。

教师C：如何求出侧面面积？

学生：侧面是一个矩形。

教师C：好的，说到矩形，同学们可以看到，我们感觉用矩形纸片能围成一个圆柱形的侧面，大家有没有探寻过，为什么可以呢？（下面的环节可以由同学们拿出一张纸来，自己做个圆柱体来观察，并相互印证）

通过同学们的讨论，有的同学发现，可以由旋转体的角度观察发现，圆柱的侧面相当于是一矩形沿着轴旋转而成，其中的边（即后来称为圆柱的母线）始终保持垂直于一个平面位移，因此，所形成的图形是一个矩形。

通过上述的问题和学生的回答，我们看到同学们在实际的问题中对旋转体，空间位置的理解与感悟。同学们在对圆柱的表面积认识的过程中，不仅理解了形状，更体会到了对旋转这一概念应用的价值。学生作为思维的主题，可以很好地由教师所提出表面积一说进行思考，有时候教师只要提点

一下学生，他们就是寻着特征找到最需要的目标。人民教育家陶行知这样设想：“让他们去接触大自然中的花草、树木、青山、绿水、日月、星辰以及大社会中之士、农、工、商、三教九流，与万物为友，自由地对宇宙发问！”

我们还可以这么来问同学，如果把一圆柱的侧面沿着下底面一点剪开，到上底面，展开后是什么图形呢？可以想象得到，同学们的答案是丰富多彩的，方法也可以是各种各样。数学教育过程中，既应该关注学生对数学基本内容的掌握，也应该让学生了解数学的应用价值，幫助学生形成一个开阔的视野，学生要有知识更要有见识。

二、对物体的拆与合是学生数学应用的过程

关于棱锥和棱台的表面积，笔者觉得还可以通过以下的方式来进行教学：

教师C：既然同学们了解了几何体，特别是多面体的概念，那么表面怎么求？

学生：跟刚才一样，求出各个面即可。

教师C：我们来看下正四面体，如何求表面积？

学生：每个面都一样，一个面的面积乘以四就可以得到了。

教师C：那正三棱锥呢？

学生：四个面算一下。

教师C：每个面形状如何？

学生通过这样的比对，发现侧面是等腰三角形且全等，底面是正三角形。因此，S正三棱锥=S底面+S侧面1+S侧面2+S侧面3，这时，可以让学生继续演算下去。S正三棱锥=边3×斜高3。

教师C：表达式能合并吗？

学生：因为侧面是全等的等腰三角形，所以斜高都相等，底边都相等。

教师C：还能“合并”吗？

学生：提取斜高，底面的和可以写成底面三角形的周长。

教师C：这里我们可以发现S正三棱锥高。如果我们再去找找别的几何体，看看哪些也可以用同样的方式计算出几何体的侧面面积？注意，抓住该几何体的特征。

学生：正多边形为底边的正棱锥可以这样计算，因为各个侧面也是全等的等腰三角形。

教师C：那还有没有其它的几何体可以容易计算出侧面面积的？（侧面看作是全等的多边形）

学生：正棱台也可以。

教师C：同学们可以通过类似的方法学习如何计算空间几何体的表面积。

通过上述教学活动，学生可以通过对空间几何体的认识，结合已有的平面图形的认识，对几何体进行拆分，整合相关元素，找到共性。学生在这样的学习中可以提升自我应用意识的培养，提高判断能力和迁移能力。

【参考文献】

[1]孙四周.思维的起源[M].中国国际广播出版社，2019.05

[2]陶行知.中国教育改造[M].商务出版社，2008.12

[3]王尚志，孔启平.培养学生的应用意识是数学课程的重要目标[J].数学教育学报，2002（02）：43-45