追溯本源，知其所以然

杨海燕 王飞

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出：概念教学中，落实核心素养，贯穿研究一个数学对象的基本套路，凸显数学核心概念的核心地位，体现数学内容的逻辑连贯性及数学思想的前后一致性，揭示数学知识发生、发展过程.文章以“弧度制”为例，谈谈笔者的做法与想法，即开放性问题探究中追溯本源、有逻辑的“问题串”引领下知其所以然.

[关键词] 弧度制;开放性问题;问题串

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出：概念教学中，落实核心素养，贯穿研究一个数学对象的基本套路，凸显数学核心概念的核心地位，体现数学内容的逻辑连贯性及数学思想的前后一致性，揭示数学知识发生、发展过程.

“弧度制”是苏教版必修4第一章第一节第二课时的知识内容，是任意角的另一种度量方式. 弧度制下，任意角的度数集合和实数集合建立起了一一对应的关系，为教学三角函数奠定了基础.本文以此为例，谈谈自己的做法与想法.

引入弧度制的必要性

问题1：如图1，P是半径为r的圆O上一点，点P的运动可以形象地描述为“周而复始”. 如何表示点P？

问题2：α，r，l之间有着怎样的内在联系呢？

设计意图：以章引言为问题情境，渗透三角函数的本质：刻画周期运动的数学模型，点出本节课的研究主题是本章研究主题的一个子课题.

追问：l= ·2πr是初中学习的弧长公式，还记得是如何推导的吗？

设计意图：在回顾弧长公式的过程中，一方面体会1°的意义，渗透单位元思想，为后续由1弧度推导弧长公式做铺垫;另一方面解释弧度制引入的必要性：在实际生活中，我们会遇到诸如计算209°19′这样复杂角对应的弧长，能否简化公式以方便计算呢？

引入弧度制的合理性

问题3：面对一个未知的新问题，我们往往先从特殊情况入手，再归纳、推广到一般情况.请同学们选择特殊角计算对应的弧长，填入表1，观察并思考，有什么发现？（教师巡视，并给予恰当、适时的指导）

小组1展示，并分享表1. 结论：圆心角α确定时，弧长l确定;反之，弧长l确定时，圆心角α确定. 弧长l中均含有半径r.

追问1：能否通过某种运算，将小组1的结论变得更简洁一些？

小组2展示，将 加入表1，如表2所示. 结论：圆心角α确定时， 确定;反之， 确定时，圆心角α确定.  是实数.

追问2：对于特殊的圆心角，有上述结论，那么对于任意圆心角，是否同样有此结论呢？

学生思考片刻，借助几何画板直观感知：（1）在半径为r的圆中，圆心角α确定时，弧长随之确定，比值 也随之确定;（2）改变圆的半径r，圆心角α确定时，弧长随半径的改变而改变，但比值 确定.

设计意图：师生动手操作，经历由特殊到一般、由感性到理性的思维过程，结合数据分析，发现一般性结论：对于任意的圆心角α，则α与比值 一一对应.所以， 反映了角的大小，引入弧度制是合理的.

弧度制的定义与表示

十八世纪，著名的数学家欧拉提出：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.

问题4：请同学们作出1 rad的角.

展示学生的图，追问1：1 rad的角与多少度的角最接近？

追问2：已知半径为r的圆中，长度为l的弧长所对的圆心角是多少？

追问3：角度制与弧度制均度量角的大小，那么它们能否相互换算？如果能，如何换算？

追问4：前一节课将角推广到任意角，即按旋转方向不同分为正角、负角、零角，那么对于任意角，都可以用弧度数来表示吗？

设计意图：学生经历作图过程，加深对1 rad定义的理解，直观感知1 rad角的大小，区别1°. 在问题驱动下，学生发挥主观能动性，由1 rad推广到α rad;探索到角度制、弧度制的互化公式：1°= ，1= ;进一步发现：用正数表示正角，用负数表示负角，用0表示零角;表2给出了特殊角的角度数与弧度数的关系：90°= ，60°= ，45°= ，30°= .用弧度制表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位.

问题5：弧度制下，弧长公式是什么？如图4，设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成角α（α为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点A所经过的路径看成圆心角α所对的弧，设弧长为l.

图4

追问1：有没有需要完善的地方？

追问2：若α≤2π，则圆心角为α的扇形的面积是多少？

设计意图：追问1，培养学生思维的严谨性以及反省性;追问2，与弧度制引入的必要性相呼应：在弧度制下，扇形的弧长公式、面积公式更简洁.

应用

例1：把下列各角从弧度数化为角度数：（1） ;（2）3.5.

例2：把下列各角从角度数化为弧度数：（1）252°;（2）11°15′.

設计意图：例1说明任意实数都可以表示成一个角;例2说明任意一个角都可以表示成一个实数.在弧度制下，角的集合与实数集合之间就建立起了一一对应的关系：每个角都对应唯一的一个实数;反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角.

教后反思

1. 发挥章引言的统领作用

章引言统领全章，它明确了“是什么”“学什么”“怎么学”. 在章引言的学习中，学生初识了全章的相关背景、知识结构、逻辑体系和应用价值，明晰了本章的学习内容、学习特点和学习方法，对于后续的学习做好了充分的铺垫和心理准备.本课以章引言将问题作为情境引入，很自然地直奔主题：优化α，r，l之间的关系.

2. 设计开放性问题，追溯本源

开放，就是学生有广阔的、独立的数学思维空间，有机会经过自己的独立思考获得对知识的理解.问题3及其追问的引领下，学生在课堂中经历实质性的数学思维过程，即经历由特殊到一般、猜想、类比、联想等思维过程.学生勇于尝试、敢于质疑、学会思考，并且还有机会切身体验到失败与成功.

3. 设计环环相扣、有逻辑的“问题串”，知其所以然

问题4及其四个追问，引导学生“精致”概念，在作图操作中消化、理解1 rad概念的细节，从形的角度猜测与其接近的度数，直观认识1 rad的角;运用单位元的思想，获取任意角的弧度数，深入理解1 rad的定义;角度、弧度都是刻画角的度量单位，它们必然存在一致性，“那么它们如何相互转化”应运而生，学生迫不及待地思考起来，自然而然地联系到先前寻找的特殊角对应的弧度数，寻找两者的换算方法;任意角有正角、负角、零角之分，水到渠成地联想到分别用正数、负数和零表示它们，建立起实数与角的一一对应. 至此，用弧度数度量角自然地纳入概念系统了.