核心素养下的数学解题教学

万祺

[摘  要] 解析几何问题一般综合性较强，能够充分考查学生的逻辑思维和数学运算等核心素养.文章拟从一个问题出发，从不同的角度探寻解析几何问题的常用解决方案，力求有所突破.

[关键词] 一题多解;方程思想;恒等变形;数形结合

本文的例题是高三复习时遇到的一个模拟考题，笔者尝试从不同角度出发，探寻解题思路，寻找不同解题策略，体会传统解析几何问题的解法及其之间的联系，希望对读者有所帮助.

试题呈现

例题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： + =1，过椭圆内一点P（1，1）的两条直线分别与椭圆交于A，C和B，D四点，且满足 =λ ， =λ ，其中λ为常数且λ>0，当λ变化时，直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出此定值;若不是，请说明理由.

分析与解答

角度1：传统解法——设点设线

解法1：设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），直线AC：y=kx+m，联立椭圆方程y=kx+m，3x2+4y2-12=0得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，故x +x =- ，其中k= ，k+m=1，即m= ，所以x +x  = - =- .①

又1-x =λ（x -1），即x = .②

结合①②消去x 得x + = - =- ，整理得[1+λ+（λ-1）x ]·（6x +8y -19）=8λ（x y -y -x +y ），以λ为主元整理（1-x ）（6x +8y -19）=λ（-6x -8y +5x +19）=λ（5x -5）. 由x ≠1得λ= ，同理λ= ，消去λ得6x +8y =6x +8y ，故k = =- .

评注：本题直线AC的方程可以直接用点A和点P的坐标表示，联立后通过坐标之间的关系进行消元，分别找到点A，B的坐标与参数λ的关系，进一步消去λ后，即可整理出斜率的表达式.

角度2：坐标化——恒等变形

解法2：A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），由 =λ ， =λ ，得1-x =λ（x -1），即x +λx =1+λ①，1-y =λ（y -1），即y +λy =1+λ②，1-x =λ（x -1），即x +λx =1+λ③，1-y =λ（y -1），即y +λy =1+λ④.

由 + =1， + =1得 · = - ⑤，同理 · =- ⑥，而k = ，故只需求 . 一方面：①-③得x -x =-λ（x -x ），②-④得y -y =-λ（y -y ），故 = ，结合⑤⑥可知 = ，由合分比定理  = .

另一方面：①+③得x +x +λ（x +x ）=2（1+λ），②+④得y +y +λ（y +y ）=2（1+λ），故 =1，所以 =1，故k = =- .

评注：根据已知条件写出坐标之间的关系及所求的目标表达式，通过代数恒等变形将其化简求值，这种方法对方程思想、恒等变形能力等要求较高.

角度3：点差法

解法3：设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），取AB中点M与C……