一个基本向量等式的证明及其六个推论

魏建华

[摘  要] 向量等式S  +S  +S  =0是一个基本的等式，证明综合度大，技能要求高，数学思想丰富.该式除了形式具有对称美外，是一个非常一般的结论，能够和三角形的四心证明紧密结合. 文章在证明该式的基础上通过推论的形式还给出了三角形四心常见的向量等价判定形式，最后对定理本身做了进一步的推广.

[关键词] 向量等式;六个推论;三角形的四心;等价判定;推广

以前大家对该等式的证明及其与四心的联系缺乏关注，一来未能体会到该等式的美感，二来缺乏对该等式证明过程中数学思想的挖掘、基础知识的应用、基本技能的掌握，三来对四心向量等价等式的判定缺乏研究和代数直观.因而作者写成此文，旨在打通此教学关节.

定理及其证明

定理：已知点O为△ABC内的任意一点，则S  +S  +S  =0.

证法一：如图1，延长BO交线段AC于点E，延长CO交线段AB于点F，设BF=λFA，CE=μEA. OF=t FC，OE=t BE，t ，t ∈（0，1），则 = =t ， = =t . 又因为点O为△ABC内任意一点，所以 + + =1，所以 =1- - =1-t -t . S  +S  +S  =0？圳  +  +  = ？圳t  +t  +（1-t -t ） =0？圳t  - +t （ - ）+ =0？圳t  +t  + =0（1）.

在△AFC中，可得 =t  +（1-t ） =t  +  .

同理在△ABE中，可得 =t  +（1-t ） =  +t  （2）.

则由平面向量基本定理有：t = （3）.

由（2）式可得 =  -t  （4）.

將（4）式代入（1）式可得：t  +  =0（5）.

由（3）式知（5）式显然成立，此定理得证.

证法二：S  +S  +S  =0？圳S （ - ）+S  +S （ - ）=0？圳S  +S  =（S +S +S ） ？圳  +  =  = ？圳  +  = .

评注：本定理蕴含着三角形的面积守恒，面积守恒是结论成立以及充满对称美的内因，证明向量加减法、向量共线定理、线段定比分点、平面向量基本定理等基础知识，通过等量代换进行消元.知识综合度大，运算技能要求高.

六个推论及其证明

推论1：已知点O为△ABC内的一点，则O为△ABC的重心的充要条件为 + + =0.

证明：先证必要性. 当点O为△ABC的重心时，S =S =S = S ，结合定理充分性显然. 再证充分性. 如图3，取BC的中点D，则 + =2 =- ，则A，O，D三点共线，所以点O在△ABC的一条中线上，同理可证点O在△ABC的另外一条中线上，所以O为△ABC的重心.

推论2：已知点O为锐角三角形ABC内的一点，则O为△ABC的内心的充要条件为a +b +c =0.

证明：先证必要性. O为△ABC的内心，则点O到△ABC三条边的距离都为r. 由定理有  +  +  =0，化简得a +b +c =0（6）.

再证充分性. 记Q为△ABC的内心，则a +b +c =0（7）.

（6）式减去（7）式可得：（a+b+c） =0，则 =0，则点O与点Q两点重合，则点O为△ABC的内心.

推论3：已知点O为锐角三角形ABC内的一点，则O为△ABC的内心的充要条件为sinA· +sinB· +sinC· =0.

证明：在△ABC中由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R为△ABC的外接圆半径），由推论2知结论成立.

推论4：已知点O为△ABC内的一点，则O为△ABC的外心的充要条件为sin∠BOC· +sin∠AOC· +sin∠AOB· =0.

证明：先证必要性. 当点O为△ABC的外心时，S ∶S ∶S =sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB，结合定理则必要性显然成立.

再证充分性. 将上式两边同时乘以 OA·OB·OC可得：

OC·S  +OB·S  +OA·S  =0（8）.

由定理可得S  =-S  -S  （9）. 将第（9）式代入第（8）式可得：（OC-OA）·S  +（OB-OA）·S  =0.

因为 ， 为非共线向量，所以有平面向量基本定理有OC-OA=0，OB-OA=0. 即OB=OA=OC，则O为△ABC的外心.

推论5：已知点O为△ABC内的一点，则O为△ABC的外心的充要条件为sin2A· +sin2B· +sin2C· =0.

证明：先证必要性.因为O为△ABC的外心，同弧所对的圆心角为圆周角的两倍，此时sin∠BOC=sin2A，sin∠AOC=sin2B，sin∠AOB=sin2C，结合推论4必要性显然成立.

再证充分性. 设点Q为△ABC的外心，则有sin2A· +sin2B· +sin2C· =0（10）.

将所证式减去第（10）式可得（sin2A+sin2B+sin2C）· =0成立.

因为sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A-B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A-B）+cosC]=2sinC[cos（A-B）+cos（π-A-B）]=4sinAsinBsinC≠0.

所以 =0，则点Q与点O重合，所以点O为△ABC的外心.

推论6：已知点O为锐角三角形ABC内的一点，则O为△ABC的垂心的充要条件为tanA· +tanB· +tanC· =0.

证明：先证必要性.如图4，S = ，S = ，S = ，则 = × = ， = × = = = .

则S ∶S ∶S =tanA∶tanB∶tanC. 结合定理显然可得tanA· +tanB· +tanC· =0.

再证充分性. 以点B为坐标原点，建立如圖5所示平面直角坐标系. 设点O（x，y）. 因为tanA· +tanB· +tanC· =0，所以tanA· +tanB· +tanC· =0，所以tanA·（x-ccosB）+tanB·x+tanC·（x-a）=0. 解得x= .由正弦定理有a= ，c= ，所以x= = = .

又因为cosA=cos[π-（B+C）]=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，

所以x= = = = = .？摇？摇又因为cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，x= = =ccosB.所以点O在BC边的高线上.

同理可证点O还在AC，AB边的高线上. 所以点O为△ABC的垂心.

评注：六个推论与定理紧密相连，凸显此定理的基础性的同时，借助定理更能建立三角形四心常见向量等价形式的代数直观.推论证明过程充分运用同一法这种证明方法，充分运用正弦定理等解三角形的知识，融入建系这种基本方法，充分凸显向量几何与代数的双重属性.

结语

此向量等式具有基础性，与六个推论连成一片，本文还可作为尖子生和竞赛班的课外拓展材料. 同时在此仍然可将定理做进一步的拓展. 当点O在三角形外部时，我们约定点O与其中一条边围成的三角形在△ABC外的面积为负值，这样仍然维持面积守恒，结论仍然成立;当点O在三角形ABC的边上或者与顶点重合时，此时只有两个三角形，我们约定不存在的那个三角形面积为0，此时结论仍然成立. 所以在新的面积约定下，可把定理中的点O改成平面中的任意一点，此时的结论更具一般性了.