例析焦点三角形，求解椭圆离心率

叶宇桦

圆锥曲线的离心率是高考常考知识点，是椭圆和双曲线极为重要的性质。根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，高中生要掌握椭圆的几何性质，包括范围、对称性、顶点和离心率。离心率是椭圆性质中的难点，考法非常灵活，有直接法、带点坐标法、通径法和焦点三角形法等，每一种方法又可以细分出不同的小题型。笔者根据自己的教学经历，将焦点三角形法细分成以下四种类型，供大家参考。

一、焦点三角形的角

题目给出焦点三角形的两个角的大小，或者一个角的取值范围，可以利用正弦定理将离心率中a，b，c的比值转化成焦点三角形中角的正弦值之比，从而求出离心率的大小或者取值范围。

例1.点p是椭圆C1：=1（a>b>0）与圆x2+y2=a2-b2的一个交点，且2∠PF2F1=∠PF1F2，其中，F1，F2分别为椭圆C1的左、右焦点，则椭圆C1的离心率为（）

A.   B.   C.   D.

【解析】点P是椭圆与圆的交点，所以∠F2PF1=90o;又因为2∠PF2F1=∠PF1F2，所以∠PF1F2=60o，∠PF2F1=30o则e=，答案选A。

例2. 已知椭圆=1（a>b>0）的左、右焦点分別为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A.      B.

C.       D.

【解析】△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，若设∠PF1F2，则∠F2PF1=∠F1PF2=，由60°<∠PF1F2<120°可知，，进一步求得，答案选A。

【评析】对于焦点三角形PF1F2，若设∠PF1F2=，∠PF2F1=，则有

二、焦点三角形的边

已知焦点三角形中三边或者两边的关系，利用椭圆的定义、完全平方式、余弦定理等求解椭圆离心率。当焦点三角形位置比较特殊，如，顶点恰好为椭圆与坐标轴的焦点，还可以用特征三角形或者直角三角形的三角函数值以解答。

例3.设分别为椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点，椭圆C上存在一点P使得|PF1|-|PF2|=b，|PF1|·|PF2|=ab，则该椭圆的离心率为（）

A.            B.          C.            D.

【解析】题目给出两条焦半径的两个……