解析几何中的定点定值问题的策略与方法

广东省深圳市南头中学 武文香

解析几何的解题过程中，需要学生全面地看待问题，寻找题目中条件之间的联系，并使用发展的观点来处理这类问题。解析几何中的定值、定点等问题对学生而言是难点，加上高考对此类题目的重视程度越来越高，因此，教师对此展开教学研究是非常必要的，能够帮助学生提升数学逻辑思维，锻炼数学能力，使其在高考中获得更高的分数。

一、定点解析几何

定点的解析几何主要是从椭圆或是圆的性质出发，进一步要求学生掌握图形与直线的位置关系、平面向量关系等，其中对学生的运算能力有较高的要求，对学生的推理论证能力有一定的考查，涉及的解题思路主要是数形结合、转化归化以及函数方程三个方面。

例1：平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与x轴和y轴有三个交点，经过三个交点的圆为C。（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）圆C是否经过定点（该点的坐标与b无关）？证明此结论。

解析此题时，我们将（1）和（2）问忽略，仔细求解（3）问。这题有两种解题方法——

一般法：从（2）中能够知道圆C方程为：x2+y2+2x-（b+1）y+b=0，此时令b=0，则x2+y2+2x-y=0，令b=-1，则x2+y2+2x-1=0，联立求解得x=0，y=1或x=-2，y=1。因此，圆C必过定点A（0，1）和B（-2，1）。证明过程如下：将点A（0，1）代入方程之中，则左边=02+12+2×0-（b+1）+b=0，右边=0，所以圆C过定点（0，1）。同理可证，圆C也会过定点（-2，1）。

形象法：基于圆C必过定点，证明：假设圆C过定点（x0，y0），此时的x0和y0均不依赖于b，将其代入圆C方程中，则++2x0-y0+（1-y0）b=0（即为方程D），方程中所有满足b＜1（b≠0）都必须要成立，则1-y0=0必须成立。根据方程D得到++2x0-y0=0，解得x0=0，y0=1或x0=-2，y0=1。根据经验可知，点（0，1）和（-2，1）都在圆C上，所以圆C经过定点。……