强化几何直观，拓展知识结构

花奎

摘要：依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》修订编写的苏教版高中数学教材中，“基本不等式”（第1课时）编写的变化比较大，主要体现在两个方面：强化几何直观，拓展知识结构。其教学价值（立意）有：挖掘知识源头，凸显数学文化;揭示知识演化，促进分支融合。

关键词：几何直观;知识结构;高中数学新教材;基本不等式

2020年秋学期，江苏省大部分地区开始在高一年级使用依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）修订编写的苏教版高中数学教材（以下简称“新教材”）。刚开始使用新教材时，教师尤其要注意将其与修订之前的旧教材做比较，找出不同之处，理解修订意图，这样才能更好地设计和实施教学。在新旧教材的对比中，笔者发现“基本不等式”（第1课时）的编排变化比较大。本文重点分析新教材“基本不等式”（第1课时）编排的变化及其价值（立意），由此设计相应的教学。

一、新教材的变化

新旧教材都从不等臂天平称量物体质量的情境出发，引出算术平均数和几何平均数的概念;在引导学生猜想它们的大小关系后，利用作差法、分析法、综合法等方法证明;然后通过例题和练习，引导学生应用基本不等式解决一些比较简单的数学问题。除了根据新课标的要求调整了这一内容在高中数学知识体系中的位置，以及因为调整顺序删除了与指数有关的练习之外，新教材相对于旧教材的编排变化主要体现在两个方面：

（一）强化几何直观

旧教材在证明基本不等式前，给出了“取一些数作试验，计算结果表明ab≤a+b2（a、b≥0）”的活动陈述;在证明基本不等式后，提出了“根据下页图1，你能给出基本不等式ab≤a+b2的几何解释吗”的思考问题。而新教材删除了取值试验的活动陈述，同时在证明基本不等式前，给出了几何解释的结果阐述，还增加了“利用‘弦图（如下页图2），给出基本不等式的另一种几何解释”的练习。由此，突出了基本不等式的几何意义，强化了几何直观。

（二）拓展知识结构

新教材在证明基本不等式后，增加了ab≤a2+b22（a、b∈R）和ab≤a+b22（a、b∈R）这两个简单的推论，同时说明“这两个不等式通常可以直接使用”。还增加了“利用直角三角形三边关系，证明1

二、教材变化的价值（立意）

（一）挖掘知识源头，凸显数学文化

数学史上，人们对代数关系的认识往往源于几何图形，因为“很多事情单凭抽象思维不易明白，加上直观形象便清晰得多了”。比如，完全平方公式、平方差公式、解一元二次方程的配方法、三角函数公式等代数关系都是通过几何图形中的长度或面积关系发现的——尤其是三角函数，最初就是几何量，后来才逐渐代数化的。基本不等式也不例外，新教材突出的幾何意义便来自历史材料：

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷六命题13中给出了两条已知线段的几何中项的作法：如图3，以AB为直径作半圆ADB，作CD⊥AB，则CD 即为AC和CB的几何中项。3世纪末，古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》卷三第2部分给出了两条已知线段更多中项的作法：如图4，以AB为直径作半圆ADB，作CD⊥AB，连接OD，作CE⊥OD于E，则OD、CD、DE分别为AC和CB的算术中项、几何中项和调和中项。根据这样的中项作图显然可以得到基本不等式的几何解释。

3世纪，我国数学家赵爽在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给出了“弦图”。 “弦图”不仅可以证明勾股定理，而且可以解释基本不等式。

（二）揭示知识演化，促进分支融合

数学知识具有联系性和整体性。把握这种联系性和整体性，才能实现深度学习，发展核心素养。这要求教师在数学教学中，关注不同模块（领域）知识的融合以及同一模块（领域）知识的演化，适当融入相关内容，把知识点变成知识链、知识网，从而帮助学生完善认知结构，全面把握知识。

新教材突出基本不等式的几何意义，可以帮助学生打通代数与几何的联系，感悟数与形的融合;增加基本不等式的推论，可以引导学生发展知识点，形成知识链;而增加证明三角不等式的练习，则可以引导学生进一步发展知识链，并打通与三角函数的联系。

三、教学过程

基于上述对新教材修订的分析，“基本不等式”（第1课时）的教学要突出这两大变化。具体教学过程及设计意图如下：

（一）现实情境引入

利用新教材中不等臂天平称量物体质量的情境，引出合情推理估计值a+b2和演绎推理精确值ab，从而自然提出“比较a+b2与ab的大小”这一本节课的核心问题。

[设计意图：教材所给的情境体现了数学的应用价值，能让学生体会到数学来源于现实的需要，也能很好地帮助学生积累运用数学知识解决实际问题的经验。]

（二）直观猜想结论

教师引导：“a+b2和ab叫作两个正数a、b的算术中项和几何中项。3世纪末，古希腊数学家帕普斯给出了中项的几何作图方法。如图5，AB是⊙O的直径，C为AB上异于端点的一点，若AC=a，CB=b，你能在图中找到或作出长度分别为a+b2和ab的线段吗？由此，你能发现它们的大小关系吗？”学生合作讨论，得出作图方法以及大小关系。

[设计意图：融入数学史料设计问题，引领学生重走数学家的探究发现之路，再现基本不等式的源头，揭示基本不等式的几何意义。]

（三）代数证明结论

教师引导学生尝试用不同的方法证明基本不等式。学生首先想到“化无理为有理”，得到“把a+b2和ab平方，再作差比较”的方法。在此基础上，教师归纳出“作差比较法”，引导学生发现平方、作差后的关键步骤——配方，从而得到“直接作差，再配方”的方法，即新教材中的证法1。然后，教师引导学生“执果索因”尝试用“分析法”证明，得到新教材中的证法2。对此，教师让学生联系之前学习的充要条件知识，明确“要证A，只要证B”的本质是“BA”，即B是A的充分条件。在此基础上，教师引导学生确认每一步都是上一步的充分条件，从而反过来“由因导果”，得到新教材中的证法3。

最后，教师引导学生回顾讨论几种证法的特点：比较大小常用的方法是作差，将差值与0比较;分析法的特点是盯住结论，寻找使之成立的条件，综合法则刚好与分析法相反。

[设计意图：直观猜想不能代替代数证明。代数证明可以训练学生的推理能力和计算能力，培养学生的理性精神。]

（四）拓展不等式链

教师改编新教材中证明三角不等式的练习，提出问题：“我们知道，根据勾股定理，直角三角形的三边可设为a、b、a2+b2。根据三角形的三边关系，有a+b>a2+b2。这个不等式和基本不等式a+b2≥ab有不少相似的地方，比如，a、b都是正数，两边都是关于a、b的一次对称式。但是也有不同的地方——前者取不到等号，而后者在a=b时取等号。你能想办法调整一下，让前者也能在a=b时取等号吗？要求两者原来相似的地方不变。”学生合作讨论，得出“给a2+b2加上系数2”的方法。教师顺势提问：“这时，不等关系还是a+b≥2a2+b2吗？”学生取值试验后猜想：可能是a+b≤2a2+b2。

接着，教师提问：“那你能像之前那样，用几何作图来验证这个不等式吗？”学生讨论无果。教师提示：“如何作图表示a2+b2？”学生想到作直角三角形，找斜边。教师再提示：“如何作图表示2a2+b2？”学生想到以斜边为边作正方形，找对角线。教师追问：“你发现a+b和2a2+b2的大小关系了吗？”学生作图后，发现还是无法比较。教师展开引导：“3世纪，我国数学家赵爽用‘弦图证明了勾股定理。‘弦图有直角三角形在内和在外两种作法。在外的作法如图6所示。你能用它发现a+b和2a2+b2的大小关系吗？”学生恍然大悟：图中四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，则大正方形边长为a+b，小正方形的对角线长为2a2+b2，根据“平行线之间垂线段最短”，有a+b≤2a2+b2。

然后，教师提问：“那你能像之前那样，用代数计算来证明这个不等式吗？”学生回顾之前证明基本不等式的几种方法，发现这里的a2+b2是一个整体，必须通过平方才能拆开，从而得到“把a+b和2a2+b2平方，再作差比较”的方法。

这时，教师出示教材中的练习：“设0°<α<90°，利用直角三角形三边关系，证明1

自然地，教师引导学生综合这一不等式和基本不等式，得到不等式链a+b2ab≤2a2+b22，即2ab≤a+b≤2a2+b2。

[设计意图：改编教材练习融入教学，引導学生关注基本不等式的本质特征（关于正数a、b的一次对称式），从而构造新的关于正数a、b的一次对称式，拓展得到不等式链。]

（五）升级不等式链

教师提出问题：“回顾两个不等式‘平方，再作差比较的证明过程，你还能发现什么不等式？”学生有点茫然。教师提示：“也就是说，这两个不等式平方后能得到什么？”学生恍然大悟，得到升级的不等式链ab≤a+b22≤a2+b22，即2ab≤（a+b）22≤a2+b2，即4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）。

然后，教师提问：“那你还能像之前那样，用几何作图来验证这个不等式吗？”并提示：“之前是一次式，用图形的长度来表示，现在是二次式，用图形的什么来表示呢？”学生想到图形的面积，合作讨论作出内外都有直角三角形的“弦图”（如图7），将ab、a2+b2、（a+b）2分别用图中两个直角三角形的面积和、小正方形的面积、大正方形的面积表示，从而用图中面积的不等关系验证上述“升级”的不等式链。

这时，教师引导学生进一步发现“平方升级”前的不等式链要求a、b是非负数，而“平方升级”后的不等式链只要求a、b是实数。

[设计意图：改编教材推论的编写融入教学，继续引导学生关注基本不等式的本质特征（关于正数a、b的一次对称式），从而构造关于正数a、b的二次对称式，“升级”得到不等式链。]

（六）尝试应用结论

教师引导学生完成新教材中的两道例题。例1让学生初步体验运用基本不等式证明不等式，体会“积为定值，和有最小值”这一基本事实。例2让学生了解应用基本不等式求最值，有时要对所给的表达式做变形或转化，以满足“一正，二定，三相等”三个条件。

最后，在课堂小结中，教师特别让学生体会两个不等式链中ab、a+b、a2+b2，ab、（a+b）2、a2+b2等式子的结构特征。在课后作业中，引导学生思考如何利用已有一次、二次式构造新的一次、二次乃至三次式如构造一次式aba+b并比较同次式的大小，发现更多不等式。这进一步培养了学生的代数“结构感”，丰富了学生的知识结构。

参考文献：

[1] 徐彦辉.例析代数问题解答中“结构感”的培养[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（10）.