探究中考数学中的动点问题
——角度的存在性问题

广东省惠州市惠阳区华南师范大学附属惠阳学校(516211) 郑素萍

动点问题中的角度存在性问题一般有以下几种类型:(1)在平面直角坐标系中,将直线旋转特殊角度,求旋转后的直线与坐标轴的交点坐标;(2)两个相等角的两端点固定,顶点在定直线上运动,求角度顶点位置;(3)将直线旋转已知角度,求旋转后的直线与抛物线的交点坐标.初中阶段解决这类问题的方法并不单一,下面阐述解决这类问题比较有效的几种方法:①构造直角三角形,为三角函数的应用创造条件;②构造圆,利用圆的性质求角度顶点;③化斜为直,构造两边与坐标轴平行的直角三角形;④解析法,联立方程,求直线与抛物线的交点坐标;⑤利用图像特殊性质,如对称性.

1 类型一:将直线旋转特殊角度,求旋转后的直线与坐标轴的交点坐标

例1(2019年上海市徐汇区中考模拟第24 题改编)在平面直角坐标系中,抛物线与直线分别交于x轴、y轴上的B(6,0)、C(0,-3)两点,若点F在y轴上,且∠FBC=45°,求点F的坐标.

方法:构造含特殊角的直角三角形.

【意图分析】本题是代数几何综合题,考察了二次函数、一次函数和三角形的有关性质,解答时要注意数形结合和分类讨论思想的运用.

【思路简析】由题意点F在y轴上,且∠FBC=45°,所以点F可以看做是直线BC绕点B旋转45°后与y轴的交点.因为旋转方向没有规定,所以要进行分类讨论.

图1

(1)当点F在直线BC上方时,如图2,因为∠CBF=45°是特殊角,因此可以构造含有特殊角的直角三角形.如图所示,过点F作FD ⊥BC,交BC于点D,所以ΔCDF∽ΔCOB.∵RtΔOBC中,OC:OB:BC=假设……