一道立体几何轨迹问题的探究

华东师范大学第二附属中学(201203) 戴中元

一、一道立体几何轨迹问题

例1与正方体ABCD−A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )

A.有且只有1 个 B.有且只有2 个

C.有且只有3 个 D.有无数个

分析为叙述方便,后面所述AB、CC1、A1D1为正方体三条棱所在直线,其中任何两条直线都是垂直的异面直线.容易看出正方体剩下的两个顶点D,B1到这3 条直线的距离都等于正方体的棱长,这是因为AA1是AB、A1D1的公垂线段,BC是AB、CC1的公垂线段,C1D1是CC1、A1D1的公垂线段.再根据对称性可知正方体的体心Q到这三条棱的距离也相等.这三点都满足要求,距离随着点的移动连续变化,所以猜想体对角线DB1上的点都满足要求.

解答下面证明体对角线DB1上任何一点P到三条棱AB、CC1、A1D1的距离相等.过点P作PQ⊥ABCD于点Q,PR⊥AB于点R,因为DB1在平面ABCD上的投影为DB,故Q点在面对角线DB上,且PQ⊥QR,所以∆PQR是直角三角形.同理也可以作PS⊥CDD1C1于点S,PT⊥CC1于点T,可得直角∆PST;作PU⊥ADD1A1于点U,PV ⊥A1D1于点V,可得直角∆PUV.因为P是体对角线上的点,所以PQ=PS=PU,QR=ST=UV.故∆PQR,∆PST,∆PUV是全等三角形,所以PR=PT=PV,即P到三条棱AB、CC1、A1D1的距离相等,所以选D.

上述解答解决了满足要求的点的个数有无穷多个,除了以上点之外还是否有其他点呢? 下面我们就来探讨这个问题.

图1

图2

二、到两条垂直异面直线距离相等的点的轨迹

问题1在空间中,l1,l2是两条距离为2 的垂直异面直线,求到这两条直线距离相等的点的轨迹.

该类曲面为双曲抛物面,因形状类似于马鞍,也称为马鞍面.当用平行于xoy的平面去截马鞍面可以得到双曲线,例如用平面z=k去截上述双曲抛物面可得等轴双……