由一道联赛试题谈一类无理函数值域的求法
——兼论基于深度学习的解题教学策略

广东省珠海市斗门区第一中学(519000) 李凯

2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛第8 题是一道求值域的题,本题看似简单,但对高中学生来讲,得到最终答案非常不易,笔者经过探究找到了这类值域问题的统一解法.

一、题目展示与解法探究

(一)方法分析

(二)典例剖析

(三)方法总结

三角换元法和数形结合法各有千秋,三角换元法需要对换元之后的式子再次变形,挖掘几何意义或进行三角恒等变形后利用三角函数的性质求解;而数形结合法思路简单,最后产生的图形都是高中生比较熟悉的圆,椭圆,双曲线;用此种方法更加通用,更加适宜高中生接受和掌握.

由于导数法求最值和值域是我们在教学中强调比较多的并且掌握的比较好,也是求最值和值域的通性通法,我们这里也要加以说明.在例1 和例2 中由于函数的定义域分别为[−1,1]与[0,2],它们分别都是有界闭区间,而且导函数也不是太复杂且极点可以求得,根据“有界闭区间上连续函数的最值必在极点处或区间端点处取得”即可以求得函数值域.而对于例3 和例4,由于函数定义域并非有界闭区间,在用导数法求值域中可能会出现需要求极限的情况.

三、教学思考

(1)渗透数与形对立与统一的思想

数与形是我们在讨论一个数学对象必须同时考虑的两个方面.华罗庚先生曾说过:数缺形时少直观,形缺数时难入微.这是一个对数与形对立统一的精美概括.在上面讨论值域的过程……