找中间“桥梁”妙解一道新颖的“极值点偏移”题目

华南师范大学数学科学学院(510631) 陈禧杰

一、试题呈现

题目(2019 浙江台州调研考试)已知函数f(x)=x2ex(e为自然对数的底数e≈2.71828···.)

(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的解,求实数a的取值范围.

(Ⅱ)若实数m,n,满足m+n=f(−2),其中m >n,分别记:关于x的方程f(x)=m在(−∞,0)上两个不同的解为x1,x2;关于x的方程f(x)=n在(−2,+∞)上两个不同的解为x3,x4,求证|x1−x2|>|x3−x4|.

二、解法探究

(一)第一小问

分析第一小问考察的是学生对函数的单调性和极值点的分析能力,大致过程为:求导并分析单调性后找到两个极值点x= 0,x=−2,画出函数的大致图像,数形结合推断出再找到合适的点,利用零点唯一性定理,证明存在三个不同的实数解.

(二) 第二小问

三、总结

在一些较难的证明题中,要学会合理运用间接法,当利用已知条件难以直接证明时可选择搭建中间“桥梁”,例如该题借助了三次函数的中心对称性先找到关于零点的等式关系作为证明不等式的中间值,这样一来,题目的命题背景和证明方向都会变得清晰且自然.