最大值与最小值的数学期望的几种求法

王瑞瑞 李金伟 李彩娟

【摘要】针对一类特殊的多维随机变量函数——最大值和最小值的数学期望求解问题，本文给出了四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况，以期能够使学生开阔思路，做到举一反三、触类旁通.

【关键词】数学期望;分布;最大值;最小值

【基金项目】河南省高等学校教改项目（2019SJGLX504），2020年度信阳市哲学社会科学规划项目（2020SH021），信阳学院校级教改项目（2020YJG018，2019YJG26）

1引言

数学期望，又称期望或均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置[1].数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，最初起源于历史上著名的“分赌本问题”[2].随机变量数学期望研究的文献较多，如，王瑞瑞等关于负二项分布的数学期望和方差的一种求法[3]，丁黎明关于随机变量数学期望的教学实践与探索[4]，孙莉敏等关于连续随机变量数学期望的定义式的推导[5]等.

在实际生活中，我们常常要用到一类特殊的多维随机变量的函数——最大值和最小值.如，为研究某地区未来五十年涝灾或干旱发生的可能性，我们就需要研究该地区过去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量.又如，实际生活中某地区的最大风速、最大车流量、最小损耗等均与最大值和最小值有直接的关系.同时，计算最大降雨量、最大风速、最大车流量等的平均值，均需计算最大值的数学期望;而计算最小降雨量、最小损耗等的平均值，则需要计算最小值的数学期望.

而关于最大……