关于扩充基定理的一个注记

徐助跃

【摘要】扩充基定理是线性空间中一个很重要的定理，其基本思想就是将较小空间的基扩充为个数较多的、较大空间的基，进而分析这个扩充基的特点，使问题得以解决.本文给出了一个非平凡子空间的新定理，并列举了几个应用该定理的实例.

【关键词】扩充基定理;线性空间;非平凡子空间;基

【基金项目】湘西自治州民族广播电视大学立项课题（课题编号：Z202107）.

定理1设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，α1，α2，…，αm是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到 n-m个向量αm+1，αm+2，…，αn，使得α1，α2，…，αn是V的一组基.

这就是扩充基定理，在一些的高等代数教材中（如文献[1][2][3][4][5]）都给出了扩充基定理及其证明，并应用此定理证明了维数公式dimV1+dimV2=dim（V1+V2）+dimV1∩V2.证明的基本方法是：首先取V1∩V2的一组基α1，α2，…，αp，将它分别扩充为V1，V2的基：α1，α2，…，αp，αp+1，…，αs和α1，α2，…，αp，βp+1，…，βt，然后证明α1，α2，…，αp，αp+1，…，αs，βp+1，…，βt为V1+V2的基.由此，我们不难发现，扩充基定理的基本思想，就是将线性无关向量组（常为较小空间的基）扩充为个数较多的、新的线性无关向量组（常为较大空间的基），进而我们通过分析新向量组的特点，使问题得以解决.从涉及问题来说，扩充基定理必定联系着与子空间及其维数有关的问题.

下面，我们通过几个实例，进一步说明扩充基定理的应用范畴.

例1设A为n×r列满秩矩阵（r

证明设A的列向量为α1，α2，…，αr，将其视为Fn中线性无关的向量组，于是存在列向量组αr+1，…，αn，使得α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn构成Fn的基，令B=（αr+1，…，αn），则B为n×（n-r）列满秩矩阵，所以C=（A，B）为n×n阶非奇异矩阵.

例2设为n维线性空间V的线性变……