一类代数纽结或链环的棍棒数估计方法

孙平爽，魏义婷

（1.长春建筑学院 基础教学部，吉林 长春 130000；2.大连市沙河口区 绿波小学，辽宁 大连 116033）

1 知识准备

定义1缠绕的乘法：给定两个缠绕T1和T2，则T1⊗T2即分别连接T1的SW点到T2的NW点，T1的SE点到T2的NE点。如图1 所示。

图1 缠绕的乘法示意图

定义2设T是一个缠绕，先连接T的NW点与NE点，再连接T的SW点和SE点，称上述操作为缠绕T的N构造（又称分子构造），记为N(T)。如图2 所示。

图2 分子构造示意图

引理1设T=是一有理缠绕，m为奇数，a i（i=1,…,m）为同号偶数，则

2 棍棒数估计

首先对有理缠绕进行多次乘法得到代数缠绕，然后构造代数缠绕相应的多边形表示，做N 构造得到代数纽结和链环的多边形表示，最后通过多边形表示进行棍棒指标估计。

定理1设T1,T2,… ,Tn+1是n+1个有理缠绕，其中Ti=1≤i≤n+1，ji为奇数，aik(1≤k≤ji)为同号偶数，若

且对T进行N构造得到代数纽结或链环L，则

证明设aik(1≤k≤ji)均为负偶数，下面构造T=T1⊗T2⊗ …⊗Tn+1的一个多边形表示。

第一步，构造T1和T2如下的多边形表示。

由引理1，知T1具有边数为

的一个多边形表示如图3(a)，T2具有边数为

的一个多边形表示如图3(b)，记缠绕T1的上述多边形表示的四个端点分别为A1,B1,C1,D1，轴为l1，T2的上述多边形表示的端点分别为A2,B2,C2,D2，轴为l2。

图3 构造T1 和T2 的多边形

第二步，构造T1⊗T2的多边形表示。

延长端点C2和B1所在边，并适当移动缠绕T2，使端点B1和C2重合，此时不需要增加新边来连接端点C2,B1；延长D2和A1所在边，且D2所在边绕轴l2旋转，则一定可使端点D2和A1重合，此时不需要增加新边来连接D2和A1，两个上述缠绕做一次乘法时，构造的多边形表示的边数除两个缠绕本身棍棒数相加外，不再变化，故由T1⊗T2构造的多变形见图4。……