释“比”

郜舒竹

【摘   要】我国数学课程与教学中将“比”视为除法运算，由此带来的疑惑是：有了除法，为什么还要学比？通过古今中外文献梳理，发现比具有“关系”和“运算”两种意义，从这两种意义得到比与比例和正比例的关系。进一步发现“比是关系”的意义与“比是除法”的意义的差别和联系。进而提出在数学课程设计与实施中应将“比是关系”与“比是除法”综合对待，让学生有机会经历“比是关系”的认知过程。

【关键词】比;比例;正比例;除法

“比（Ratio）”作为小学数学课程的内容，在我国小学数学教科书中通常安排在六年级分数乘、除运算之后。人教版教材六年级上册中，对“比”的定义为“两个数的比表示两个数相除”。这样的表述是将“比”视为运算，运算的对象指向“数”，运算的过程等同于“除”，这或许也是将比的认识安排在分数乘、除运算之后的原因。

按照这样的认识，“12∶4”与“12[÷]4”只是符号和相关名称进行了更改，除法算式中的“被除数”改为比的“前项”，除号“[÷]”改为比号“∶”，“除数”改为比的“后项”，除法的结果“商”改为“比值”，“12除以4”的读法改为“12比4”。由此自然带来教学中的疑惑：已经有了除法，为什么还需要比？

一、“比”的歧义

从历史的视角看，比最初的意义并不是算术中的除法运算，而是几何中量之间的“关系（Relation）”。随着算术与几何的融通，比的想法逐渐从几何进入算术，开始出现算术运算的意义。

“比”并不指向类似于高山、河流、石头、动物、桌椅、水杯等客观存在并且可以感知到的对象，因此比不是一个自外而内，对客观事物进行抽象所形成的“概念（Concept）”，而是人“心智（Mind）”中自内而外的主观“生成（Poietic）”。……