初中数学“思维体验学习”的实践与反思

陈吉 张爱平

【摘 要】 数学思维体验学习是数学体验学习的一种，是通过观察与分析、猜想与验证等“抽象”思维而获得的一种体验.在教学中，要面向全体学生创设合适的思维体验活动，引导学生在思维体验学习过程中学会解决驱动性问题，经历“实际问题—数学问题—数学问题的解—实际问题的解”的数学建模过程，感悟数学思想方法，积累数学活动经验，发展数学思维能力.

【关键词】 思维体验;数学建模;分类讨论;数形结合;类比

数学体验学习是学习者置身某种场合（或虚拟场合）和情景参与特定的数学活动，亲历具体的操作过程，感受数学对象，发现数学问题，领悟思想方法，获取活动经验，提升关键能力的一种学习方式，既包括通过动手“操作”而产生的“操作体验”，也包括通过抽象“思维”而产生的“思维体验”[1].根据江苏省第五批精品培育课题暨江苏省教育科学规划十三五重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”的研究要求，课题组老师开设了“用二次函数解决问题”的数学思维体验学习课，力求探索数学思维体验学习的经验和规律，发展学生数学能力.

1 背景

课题组所研究的数学体验学习，主张在数学课堂教学过程中要能调动学生学习的积极性，将被动学习变成主动体验学习的过程，学生在学习活动中借助教师的引导从行为和感情上直接参与到教学活动中来，通过自身的体验、亲历来认识、建构知识.现代学习观强调学生学会学习有4个标准，其中的第4个标准就是“能很好地将所学的知识应用于实践，即会用”.在实际学习过程中，学生对于方程、不等式、函数等等这些知识点的概念或者运算的掌握不困难，而运用它们去解决实际问题则是学习的难点.关注学生体验学习，尤其是思维体验学习的过程，可以较好地提高学生学习的品质，以“二次函数的应用”的学习为例，在数学建模的过程中，感悟数形结合、分类讨论、类比等多种数学思想方法的思维体验过程，可以帮助学生学会用数学的思维方式解决问题、认识世界，提高学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力，力求数学学科育人.本节课的课堂设计，不仅要实现“二次函数的应用”应达成的教学目标，还要把“数学思维体验”贯穿于整个课堂，也就是说，课堂目标的达成，重、难点的解决，都不是通过教师单一的讲授完成，而是要通过教师对学生的引导、学生亲历的“思维体验”而完成.选择怎样的问题才能更好的让学生既能从“思维体验”入课，又能让“思维体验”贯穿整节课是关键.经过多次讨论，最终确定以“用长60m的篱笆围成矩形场地，怎样围场地的面积最大？最大面积是多少？”这个问题为“思维体验学习”的主问题，基于以下几点思考：（1）这个问题的结论学生通过小学的学习已经知道，但是，“知其然”，更要“知其所以然”，这就向学生提出了一个新的需要解决的问题——“为什么？”（2）要解决这个问题，首先需要学生基于以往的学习经验，选择合适的数学方法，这就是“数学建模”的过程，也是学生的第一步“数学思维体验”.（3）用“二次函数”的知识解决求最值的实际问题，能不能取到？在什么时候取到？这是从“数学问题的解”到“实际问题的解”的过程，需要“检验”，检验什么？怎样检验？这其中需要学生运用分类讨论、数形结合的数学思想，这是第二步“数学思维体验”，同时也为下面的变式——改变墙长，埋下伏笔.

2 教学过程分析

2.1 思维体验活动

问题：用长60m的篱笆围成矩形场地，怎样围场地的面积最大？最大面积是多少？

变式：有一堵长为am（a<60）的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形场地，怎样围面积最大？最大面积是多少？

追问1：利用墙和篱笆可以“怎样围”？请画出设计示意图.

追问2：按图1①的设计方案，求出矩形场地的最大面积.

追问3：按图1③的设计方案，求出矩形场地的最大面积.

思考：有一堵长为60m的墙，利用这堵墙和长为am的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？

效果分析 第一个“问题”，是所有学生都能直接说出答案的一个问题，所以，解题的重、难点是探究获取答案的过程，并且在探究的过程中体验从“实际问题—数学问题”的建模思想、用函数的性质求函数最值的解决过程、从“数学问题的解—实际问题的解”的检验过程.通过“问题”的解决，学生基本掌握了“实际问题—数学问题—数学问题的解—实际问题的解”的“用二次函数解决实际问题”的基本方法和注意点.接着给出“变式”，增加一堵小于篱笆长度的墙，导致第一个“追问”的产生，也是引导学生经历“分类讨论”思想的体验的过程，追问2和追问3既是对追问1的求解，也是在墙长为一个字母a表示的条件下，经历借助“分类讨论”和“数形结合”思想求最值的过程.“思考问题”让学有余力的学生能够将自己通过这节课的“体验”获取的解决问题经验进一步调用.

2.2 思维体验学习过程

师：前面我们学习了用方程（组）、不等式（组）这样一些数学方法解决實际问题，那么除了方程（组）、不等式（组）以外，还有没有其他的一些数学方法解决实际问题呢？来看这样的一个问题：用长60m的篱笆围成矩形场地，怎样围场地的面积最大？最大面积是多少？

生1：围成正方形面积最大.设长为x米，面积为y平方米.由题意可知，宽为（30-x）米，y=x（30-x）=-x2+30x=-（x-15）2+225.当x=15时，y有最大值，最大值为225.

效果分析 对“为什么围成正方形面积最大”这个问题的研究，教师在巡视的过程中，发现学生的解决办法不止一种，有画图形的，有列表格的，有用方程解决的，也有直接想到用函数解决的，学生不同的解法充分体现出对“建模”思想理解水平的不同.

师：请回答下面几个问题.

问题1：用了什么方法来解决问题？

生1：设这个题目的一个变量为x，用二次函数解决.

师：要解决的是一个什么问题？

生1：一个求面积的实际问题.

师：怎么想到把这个实际问题转化成函数问题来解决？

生1：这个实际问题中有许多变量，其中矩形的面积随长和宽的变化而变化，因为已知了矩形的周长，如果设长为x，可以表示出宽，用宽和长的积表示面积，这样就建立了面积和长之间的关系，即函数关系.

问题2：为什么是二次函数？

生1：因为矩形面积是长和宽决定的，即面积=长×宽.

问题3：利用了函数的什么知识点解决实际问题？

生1：利用函数的性质，可以找出x在取一个特殊值时y取最大值，从而求出面积的最大值.

师：求出来的这个最大值是什么的最大值？

生1：是函数的最大值.

师：而我们要求的是什么？

生1：面积的最大值.

师：从函数的最大值到面积的最大值，还需要做什么？

生1：通过检验，确定函数的最大值是否是实际问题的最优解.

师：x=15符合实际意义吗？生1：符合.

师：所以函数的最大值就是面积的最大值.

效果分析 通过师生对话，充分呈现思维体验学习的过程，学生1的解题过程完整、规范.结合前面教师的巡视，只有少部分学生能够想到建立“函数”去解决这个问题，那么，对于大多数的学生来说，这个题目为什么用二次函数去解决？什么情况下可以建立函数关系去解决？是需要去解决的问题，也是需要去体验的思维过程的问题;此外，该学生在解题的时候没有“检验”的意识，需不需要检验？为什么要检验？怎么检验？也是这节课要经历的重要的思维体验过程.通过教师问题的引导，逐步梳理了用二次函数解决问题的基本过程.这里教师也可设置问题：“请解释你的解题步骤以及为什么这么做？”把研究的过程完全交给学生，让学生更充分的感悟研究过程中的“思维体验”过程.

变式：有一堵长为am（a<60）的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形场地，怎样围面积最大？最大面积是多少？

师：题目的条件做了怎样的改变？

生2：多了一堵墙.

师：墙有什么作用？

生2：墙可以代替一部分篱笆.

师：利用这堵墙和篱笆，围成一个矩形的场地，有哪些围法？请画一画设计示意图.

生2：如图1，一共画了4个图.

师：这四幅图是否都需要？

生3：按照篱笆的使用情况①和②是一样的，③和④是一样的，所以可以去掉②，④，保留①，③，有2种不同的围法.

师：这2种围法有什么不同？

生3：如图2，题设条件a小于60，a的长度不会超过篱笆的长度，所以墙可以作为篱笆的一部分，可以分为2种情况：“一边靠墙”和“一边包含墙”.

师：一边靠墙，即平行于墙的篱笆的长度不能超过墙的长度，0

师：x=a是比较特殊的一种情况，就正好围到墙的端点.

效果分析 对“变式”问题涉及示意图的完成，大多数的学生都是在所围成的矩形“一边靠墙”的情况下改变一组邻边的长做不同的设计，很少有学生想到“一边包含墙”的另一种情况.这就反映出学生对“墙长am（a<60）”这个条件所起到的作用没有进行充分的思考，更没有进行“分类讨论”的意识，同样的问题也出现在后面最值的求解过程中.所以，仔细审题，对题目的所有条件充分了解并思考，特别是对“字母参数”分类意识的培养，是学生进行“思维体验”的重点.学生3和学生4对2种不同情况的设计及自变量的取值范围的确定，思路清晰，经历了“思维体验”的过程.

师：请根据对前面问题研究的方法和经验，完成图2矩形最大面积的求解.

生5：因为a小于60，所以应该先把a的取值范围讨论清楚，这里可以把a替换成一个常数考虑.

师：a小于60可以取到多少个值？

生5：无数个，可以用特殊值来代替.比如10，20，30，40.

师：把字母a用一个特殊的值来代替，可以发现什么？

生6：当a取不同的特殊值时，可以发现函数最大值的取值情况不一样.

师：如何思考？

生6：可以这样思考：

师：对于一般的函数最值问题，转化为实际问题的最优化问题，要注意“检验”.为什么这样进行分类？

师：分类的关键是什么？

生8：关键是判断二次函数的顶点的横坐标是否满足0

师：结合图象直观帮助分析题意，借助图象解决函数的最大值问题，从而解决实际问题的最优化问题，用到了什么数学思想方法？

生8：数形结合的思想方法.

效果分析 学生提出的把a的值用一个特殊值代替，经历“从特殊到一般”“从一般到特殊”的思维体验过程，感受归纳、演绎的推理过程，理解解决问题的数学思想方法;“函数的最值”和“实际问题的最值”之间的关系，从“数学问题的解”到“实际问题的解”的“检验”过程，是“用数学”的重要体现;利用函数图象分析a对最大值的影响，即“数形结合”的数学思想的应用，在教学中加强了“特殊”到“一般”“数学问题”到“实际问题”“分类讨论”“数形结合”等数学思想方法的体会和应用，加深了对“数学思维”的体验. 图7

师：对于一边包含“墙”（图7）的情形，如何解决？

师：这里主要运用了什么方法？

生9：类比一边靠“墙”的解决过程，通过建立模型，确定字母a的分类标准，利用函数性质和图象直观，解决第二种情形.

效果分析 類比是一种逻辑推理方法，根据两种事物某些特征上的相似，做出它们在其它特征上也可能的相似的结论.这里学生完整经历了“一边靠墙”的探究过程，而“一边包含墙”的探究过程和前一种情形一定有相似之处，故而可以让学生独立思考，经历“建立模型—观察图象—分类讨论—性质分析”的探究过程，实现思维体验过程的迁移，提升学生解决问题的能力.

3 反思

3.1 “思维体验学习”需要提出驱动性问题

数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏”.在数学思维体验学习过程中，教师要以“提问”的方式启发学生的思维，让学生形成一定的思维模式思考和解决问题.对课堂问题的设置源于课堂的教学目标和学情，要提出具有驱动性的问题，即问题要“有广度”“有深度”.“有广度”是指问题要有开放性，使学生有更多的思考空间，一个数学问题的解决方法往往不止一种，开放性的问题可以更好的培养学生思维的广度;“有深度”是指问题的提出不仅仅是为了找到这个问题的答案，而是要找到解决这个问题的方法，有深度的问题才能更好的培养学生思考的习惯，养成归纳总结解决问题的思想方法的习惯，提出有广度、深度的问题，就可以提出驱动性的问题.在本节课中，预设了一个主问题和一个变式问题，通过追问的方式，将大问题分解为若干个子问题，层层递进，在子问题解决的过程中获得基本策略，丰富活动经验，从而提高数学思维体验学习的品质.

3.2 “思维体验学习”可以发展学生的数学思维能力

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学规律的思维过程.在数学教学中要渗透数学思想方法，要教给学生有用的解决问题策略.解决问题策略的掌握、数学思想方法的运用，必须通过自己的体验与感悟，方能真正了解其本质和意义，才能形成自己独特的认知策略.对数学思想方法的渗透不是标签式、告知式，而是让学生在活动过程中积累、感悟.思维体验学习让学生经历“实际问题—数学问题—数学问题的解—实际问题的解”的过程，在本节课中，学生经历了建立数学模型过程中的从特殊到一般、分类讨论、数形结合、类比等数学思想方法的体验和应用，积累用数学思想方法解决实际问题的基本活动经验，发展学生的数学思维能力.

3.3 “思维体验学习”要面向全体学生

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“教师教学應该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生.”[2]本节课的思维体验学习过程中，把对学生思维习惯的培养贯穿于整个课堂时，对一部分自主学习能力较强、学习自觉性较高的孩子来说，无论是对他们学习习惯的培养，还是学习能力的提升，都有很好的作用.但在教学中，对于数学能力较弱的孩子，就会产生课堂听课效率低、课堂内容听不懂的问题，问题的设置梯度再小一些，使得更多的学生能够在问题串的引导下学会思考，在大多数学生都出现疑惑的地方能够及时发现，并针对学生的疑惑点及时准确的提出能够帮助他们继续思考下去的问题，数学思维体验学习需要面向全体学生，从而实现让不同的学生有不同的收获.

参考文献

[1]张爱平，沈雪英.融入数学体验活动的教学实践与思考——以“做一个角等于已知角”为例[J].数学通报，2019，58（4）：33-35.

[2]钱德春，戴回娟.预设与生成齐驱 过程与结果并重[J].中学数学教学参考（中旬），2019（5）：2-5.