“量纲”在小学数学深度教学中的应用

2021-08-23 09:50黎初团
广西教育·A版 2021年6期
关键词:乘法分配律量纲单位

【摘要】本文借鉴物理中“量纲”分析和“量纲”运算的基本思路,论述在小学数学教学中运用“量纲”分析数学单位、乘法分配律和分数运算的本质内涵和内在联系,并根据这种理解方式拓展延伸对应的解题方法,加深学生对相关知识点的理解,提升学生灵活使用已学知识、探索创新解题思路的能力。

【关键词】量纲 单位 乘法分配律 分数运算

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889(2021)21-0114-02

在物理学中,“量纲”是物理量的基本属性,是在量值中用基本量的幂积表示数值系数为1的量的表达式。对固定的单位制,每个基本量均定义了一个基本单位,这就是我们常用的“单位”。无论是在数学还是物理学科中,“统一度量”是所有计算的前提条件,而“量纲”运算是将这种统一的度量单位提取出来,单独进行分析和运算,以便对各种量之间内在关系进行研究。在小学数学学习中巧妙运用这种思路,不仅可以帮助学生对数学单位、乘法分配律、分数运算等知识点加深理解,而且能够在复杂的综合运算中举一反三,推导新的简便算法。

一、利用“量纲”加深对数学单位的理解

只有相同单位的数字才能相加减,不同单位的数字只能相乘除。如果学生不明白其中的原理,在遇到复杂的问题时就容易出错,而且哪些单位之间能够用乘除,哪些单位不能直接乘除,很容易让人无所适从。但如果借鉴“量纲”分析的思路,将数字和单位分开来思考或计算,那么可以让学生更深入、更系统地了解单位的实际意义。

首先来看带单位的加减法。比如“5米+8米”,5米的实际意义是5×1米,表示的是5个1米合起来的长度,所以“5米+8米”就是5个1米加上8个1米,一共是13个1米。但是如果是5米+8元,即为5个1米加上8个1元,“米”和“元”之和没有对应的量纲单位,也没有实际物理意义,因此,不同单位的数量不能直接进行加减法运算。

接着看带单位的乘除法。使用“量纲”的方法对小学数学带单位的乘除法进行分析,不同的单位能否直接相乘除,主要分为两种情况:一种是无量纲单位,可以和其他任意单位相乘,比如倍数,4元的5倍,即4元×5=4×1元×5=20×1元=20元;另一种是与空间和时间有关的单位,乘除法对应着维度的升降,比如面积计算公式是从一维空间升到二维空间,其单位变化为:3(米)×3(米)=3×3(米×米)=9(平方米),还有速度计算公式是时间维度的变化,其单位变化为:4(米)[÷]2(秒)=4[÷2](米[÷]秒)=2(米/秒)。

可见,在量纲运算中,各基本量和导出量可以随意进行乘除运算,只有计算结果具有实际物理意义时,此量纲运算才有意义。

二、利用“量纲”加深对单位换算进率的理解

在单位换算进率的教学中,基本单位(如长度、时间)的进率换算一般比较容易掌握,但是对复合单位(如面积、体积、速度)的进率换算却比较容易出错,主要原因在于学生仅仅记住了常用的进率,没有真正理解这些复合单位的来历和含义。以面积单位换算进率为例,首先要理解面积单位平方米的实际含义是边长为1米的正方形的面积,即1平方米=1米×1米,且已知长度单位换算进率:1米=10分米,按照“量纲运算”的思路可得:1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米;同理可得:1平方米=1米×1米=100厘米×100厘米=10000平方厘米。由此,当遇到新的复合单位换算时,如市制面积单位平方尺,可由1米=3尺进行推导:1平方米=1米×1米=3尺×3尺=9平方尺。

再来看体积单位换算,1立方米的实际含义是边长为1米的立方体的体积,即1立方米=1米×1米×1米,按照“量纲运算”的思路可得:1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米;同理:1立方分米=1000立方厘米,再根据升和毫升的定义可知:1升=1立方分米=1000立方厘米=1000毫升。

在速度单位换算中也可照此思路进行推导,已知:1千米=1000米,1小时=60分=60×60秒=3600秒,按照“量纲运算”的思路可得:1千米/时=1千米[÷]1小时=1000米/3600秒=5/18(米/秒),反之:1(米/秒)=18/5(千米/时)=3.6(千米/时)。

借助“量纲”运算的思路,不仅可以让学生深入理解复合单位的意义,还能够自主推导出新的复合单位的换算进率。

三、利用“量纲”加深对乘法分配律的理解

乘法分配律是小学阶段乘法三大定律中最复杂、最重要的一个定律,它可以使很多复杂的混合运算变得更加简便,但很多学生只会背记乘法分配律公式,没有深入理解公式内部机制和原理,也无法灵活巧妙地加以应用。

对此,可以借用“量纲”的思想,按照统一度量的要求,将一个固定的共有量假想为一个基本单位,以“量纲”的方式进行运算,可以更加直观地理解乘法分配律。例如:“小明买了6支水性笔,单价为3元/支,又买了4本练习本,单价为3元/本,问一共花了多少钱?”题中水性笔和练习本的单价都是3元,教师可以将3元这个公共量看成一个基本单位,购买水性笔花了6个3元、购买练习本花了4个3元,所以一共花了6+4个3元,列算式为:6×3元+4×3元=(6+4)×3元。

按照这样的理解方式进行下一步拓展,如:7×8-8,将8看成一个基本单位,原题可理解为7个8减去1个8,就是(7-1)个8,因此,7×8-8=(7-1)×8。又如:5×9+8×9+7×9,将9当成一个基本单位,原题可以理解为5个9加上8個9,再加上7个9,一共是(5+8+7)个9,因此,5×9+8×9+7×9=(5+8+7)×9;还可以再进行拓展:在13×16+14×32-16中,32可分解为2×16,将16作为一个整体,原题可以理解为13个16加上14×2个16,再减去1个16,可得:13×16+14×32-16=(13+14×2-1)×16=40×16。

从以上几个例子可以看出,无论什么题型,只要找出各项包含的共有项,就可以将其看成基本单位,从而简化计算。通过这种方式,学生对乘法分配律产生深入的理解和深刻的记忆,并且在后续的学习中融会贯通,探索更多巧妙的应用。

四、利用“量纲”加深对分数运算的理解

分数运算是小学阶段必须掌握的重要知识之一,但由于分数的实际意义和表现形式与前期所学的整数差别较大,导致很多学生在分数理解和分数运算方面存在很多误区和障碍,非常容易出错。借鉴“量纲”运算的思想,教师可以将分数运算中不容易理解的分数部分当作基本单位,单独进行计算,不仅可以加深学生对分数运算规律的理解和掌握,还可以在很多地方实现分数的简便运算。

首先,利用“量纲”分析同分母分数的基本运算。例如:[37+27]可以将[17]看成基本单位,[37=3×17]即3个[17],[27]就是2个[17],于是有:[37+27]=[3×17+2×17]=(3+2)[×17]=[57]。而对异分母分数的加减法,也可以通过“量纲”分析的思路进行深度理解,例如[35+23],异分母分数运算中一般没有直接的共同项,不能直接提取基本单位,但是通过观察可以发现:[35=3×15=3×3×115],[23=2×13=2×5×115],此时两个分数有共同的分数项[115],将其看成基本单位,则原式可转化为([3×3+2×5])个[115]相加,即[35+23]=(3[×3+2×5])[×][115=1915],这实际上就是异分母加减运算法,即对“通分”的本质理解。

按照以上思路继续进行适当拓展,就会发现在很多相对复杂的分数运算中,只要找到相同项作为基本单位,就可以大大简化分数运算过程。例如:在分数混合运算3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11中,可以发现分数共同项为[136][×11],如果将[1136]作为基本单位,可得:3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11=(3[×23]+8+5)[×][1136]。又如:[357+79×5][÷][57+59],通过仔细观察可以发现除数和被除数都有一个共同项[17+19],将其作为基本单位,可得:[357+79×5][÷][57+59]=[35×17+19][÷5×17+19]=7,实现简化运算。

除了以上四個方面的应用,“量纲”分析的思想还可以应用于公式理解和快速查错等。比如从体积基本单位立方米可以推测出,任何形状的体积计算公式必然是三个长度单位相乘(即米[×米×米]),或者一个面积单位和一个长度单位相乘(即平方米×米),然后乘以一个无量纲的系数。而快速查错主要是在复杂应用题中,可通过简单的量纲运算(即单位运算),校核量纲结果是否与实际计算答案一致。

总之,数学是一门工具学科,具有强大的包容性,能够为解决其他学科问题提供高效的方法和思路,同样也应融合其他学科的工具和技巧,改进和完善自我。而小学教育所提倡的数学思维教育,就是要进一步深化对知识点的理解,培养学生的数学灵感和数学意识。虽然小学阶段的学生并没有学过“量纲”的概念,无法深入理解“量纲”的意义和作用,但是如果教师将“量纲”中“单独提取单位进行运算”的思想进行简化处理,并借由数学单位这个常用的知识点引入,然后逐渐向其他知识点拓展迁移,不仅可以使学生轻松地接受和理解量纲运算的思想,而且加深对数学单位、分配律、分数运算等难点知识的理解,帮助他们打破学科之间的桎梏,激发学生尝试用新思路、新方法解决问题的热情,培养更广阔的视野和更灵活的思维方式。

【参考文献】

[1]吕琦.小学数学《乘法分配律》的教学探究[J].小学数学研究,2011(1).

[2]侯春干.小学数学教学中分数运算的实践研究[J].学子(理论版),2015(23).

【作者简介】黎初团(1985— ),女,汉族,广西宾阳人,大学本科学历,学士学位,二级教师,南宁市民主路小学五象校区数学教师,主要研究方向为小学数学教育。

(责编 杨 春)

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