探究高中数学新教材中互补角的应用问题

江苏省南京市临江高级中学 乐晓梅

2020 级高一是苏教版数学新教材使用的第一个学年，教师需要学好新课标、用好新教材，发现新教材中变化的方面，充分领悟编者的意图，从而更好地为教学服务。三角形是所有几何图形的基础，本文主要探究通过隐含的互补角，利用正、余弦定理解决三角形问题，在教学活动中发展学生的数学运算素养，进一步提高学生的数学思维品质。

一、运用互补角证明三角形中线长公式

图1

这道例题出现在余弦定理这一节，因为涉及边的平方形式，等式结构特征明显，很容易让学生想到在三角形中运用余弦定理，又因为这些边分布在两个三角形中，所以分别在△AMB和△AMC中利用补角的余弦值相反，即cos ∠AMB=-cos ∠AMC。

二、运用互补角证明三角形角平分线定理

图2

学生活动1：你能用平面几何的方法来证明这个结论吗？

与边角有关，想到面积，探究面积法：

学生活动2：如果这个角平分线是外角的，会有什么结论呢？教材在95 页思考运用部分第9 题，为学生创设了活动平台。通过这些探究活动，让学生发现问题、探究问题和解决问题的能力得以提升。

图3

为了巩固补角关系在图形中的应用问题，编者在习题中设计了多个问题。

三、运用互补角求证四边形中的相关问题

1.平行四边形中对角线和边的关系

学生分析：根据式子结构特征，出现边的平方，易想到余弦定理，但三角形较多，要分别选择以AC、BD为边的三角形，我选择△ABC和△BCD：

图4

△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC，

△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos ∠BCD，

∠ABC与∠BCD互补，即cos ∠ABC=-cos ∠BCD，两式相加即可得证。……