高中数形结合思想方法的教学探究

摘 要：高中数学知识是数形结合思想方法的主要载体。本文通过归纳和剖析数学知识，揭示数形结合思想主要呈现的两种形式，结合学生的认知规律，探究教学中的有效策略和方法。

关键词：思想方法;数形结合

引言：随着课程标准改革的不断推进，课程目标对数学思想的教学提出了更高的要求。毕达哥拉斯学派曾提出万物皆数的世界观，主要体现的就是数形结合的思想。“数”与“形”本是一种无意识的结合，具有完全不同的特性，“数”可运算，“形”更直观。随着数学的进步与发展，在遇到复杂问题时，数学家们开始有意识的将“数”与“形”结合起来，优势互补，达到解决相应数学问题的目的。高中数学知识便是数形结合思想应用和呈现的主要载体。

一、以数解形

以数解形是利用数的运算对图形的性质进行分析，即数为工具，形为目的，从数量关系中提炼出性质，解决图形问题。解析几何和立体几何教学中常见这类数形结合思想。

（一）“解析几何”中的数形结合思想

例1已知抛物线y2=4x，F为其焦点，A（3，2），点P是抛物线上的动点，当|PA|+|PF|取得最小值时，求P点的坐标。

分析：如图，本题利用数形结合，可以将|PF|转换为|PM|，结果直观明了，问题迎刃而解。缺乏图形的直观，解析几何问题将无从入手。

（二）“立体几何”中的数形结合思想

例2已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为.

分析：如图，过P点做平面ABC的垂线段PO，再做PE⊥CB，PF⊥CA可得OE⊥CB，OF⊥CA，在中，由，可得出CF=1，同理在中可得出CE=1，結合，可得出OE=OF=1，.立体几何能充分反映以数解形的思想，如角度、长度、面积、体积等，这些问题的考查与解答都离不开数形结合。

二、以形助数的载体

以形助数是指利用形的直观、具体来表示数量关系，即形为工具，数为目的，现实生活中总存在与数相对应的“形”。因此，在教学过程中，要引导学生学会“数”、“形”对应。化“形”抽象成“数”，这类数形结合的问题有函数、线性规划、向量、概率等。

（一）“函数”中的数形结合

例3设函数，则满足的x的取值范围是（ ）

A.（-∞，-1） B.（0，+∞） C.（-1，0） D.（-∞，0）

分析：首先根据题中所给的函数解析式，画出函数图像，从图中发现若成立，一定有，解得x<0.在研究函数性质及解决函数问题时，数形结合思想可发挥出事半功倍的作用.

（二）“线性规划”中的数形结合

例4：若x，y满足约束条件，，则的最大值为________.

分析：首先画出相应的可行域，再转化目标函数的几何意义，可以发现直线，过B点时取得最大值为6.线性规划常见的斜率型、截距型、距离型等目标函数，都是根据数形结合，对照相应的几何性质，以形助数的思想得到充分体现。

（三）“向量”中的数形结合

例5：设非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则（ ）

A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b|

分析：向量本身就是数与形结合，具有代数和几何性质。利用向量的三角形法则和平行四边形法表示出几何图形，容易得到向量之间的性质关系。

（四）“概率”中的数形结合

例6：点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为

分析：本题利用数形结合，将概率问题转化成几何图形，可以直观地看出B点的轨迹，计算概率。

三、数形结合思想渗透教学的启发

掌握数形结合思想有利于培养学生的思维能力，所以在日常中的渗透教学就变得十分关键，要注意遵循学生学习数学思想方法的规律。

（一）循序渐进

数学思想方法一般以数学问题为载体，蕴含在知识的形成过程中。如函数，从函数的概念到函数的应用，都离不开数形结合思想。学生对思想方法的认知从了解到应用需要经历一个漫长的教学过程，只有循序渐进地渗透，才能使学生真正地在学习数学知识过程中掌握数学思想方法。

（二）注重变式教学

在教学实际中，不少老师为巩固练习而时常缩短讲解新课的时间，这样容易导致学生建立题型与解题方法之间的联系，很难发现数学思想的本质。要想从中剥离出所蕴含的数学思想，变式教学就尤为重要。例如线性规划和几何概型的教学，利用变式将不同的问题情境联系起来，在变化中适时地归纳总结，突出问题的本质，逐步凸显蕴涵其中的数形结合思想方法。

（三）明确目标

在数学教学过程中，教师和学生容易忽略数学思想是否掌握。如函数性质的教学，多数学生会将重点放在掌握函数的性质上，却没有意识到数形结合方法的重要性。通过数形结合画出图像，能够更直观有效地研究性质。因此，在教学过程中，要不断强调掌握数学思想方法也是重要的教学目标。

结束语

数形结合思想是通过总结具体知识的形成过程，从中提炼出来的抽象数学思维方式。学好数形结合思想，除了在日常教学的渗透之外，归纳总结也十分必要，这样才能让学生在学习过程中逐渐形成一个整体，从一定的高度来认识数形结合思想。

参考文献

[1]张奠宙.数学方法论稿（修订版）[M].上海：上海教育出版社，2012.

作者简介：张琛（1985-）.男，中学一级，从事高中数学教学与研究。